§ 141. Дифракционная решетка

Дифракционную решетку можно изготовить из стеклянной пластинки, покрытой тонким слоем алюминия. При помощи специальных машин на такую пластинку мягким резцом из слоновой кости наносятся штрихи, расположенные на равных расстояниях друг от друга. В такой «решетке» неоднородности (штрихи) расположены регулярно, и это приводит к ряду особенностей рассеяния света.

Рис. 158,

Мы будем говорить все время об оптической дифракционной решетке, однако излагаемые ниже соображения и факты относятся к регулярному расположению любых неоднородностей и рассеивающих центров и к любым электромагнитным волнам, от кратчайших до километровых. Ограничимся рассмотрением дифракции в параллельных лучах, способ осуществления которой был упомянут в § 137.

Если все рассеивающие центры тождественны (в оптической дифракционной решетке это несомненно имеет место), то расчет дифракционной картины должен происходить следующим образом.

Рассмотрим амплитуду волны, идущей под углом к падающей. Суммарная амплитуда сложится из амплитуд волн, рассеянных отдельными центрами. Если бы волны от отдельных центров приходили в точку наблюдения в одной фазе, то суммарная амплитуда равнялась бы произведению числа центров на амплитуду отдельного центра Однако волна каждого центра сдвинута по фазе от волны соседнего центра (можно считать, что на одну и ту же величину). Волны от разных центров будут интерферировать, и результирующая интенсивность будет равна не где величина, которая будет больше в тех направлениях, где волны усиливают друг друга, и меньше там, где они приходят по преимуществу в противоположных фазах и ослабляют друг друга.

Направления, в которых волны от всех центров будут усиливать друг друга, находятся сразу же из рис. 158. Разность хода волн,

выходящих из двух соответственных точек, соседних центров, равна Волны будут усиливать друг друга, если эта разность хода будет равняться целому числу длин волн: (условие максимума). Таких направлений, как мы видим, будет несколько. Если на решетку падает волна не монохроматическая, решетка разложит волну в спектр. При этом возникает не один спектр, а несколько. Число фигурирующее в написанном уравнении, называют поэтому порядком спектра.

Число может равняться нулю (неотклоненный луч) и быть отрицательным. Первый и минус первый, второй и минус второй и т. д. спектры будут тождественны при простой геометрии опыта (плоская волна под прямымуглом).

Вычисление распределения интенсивности рассеянной волны несколько громоздко. Остановимся лишь на важном вопросе о ширине дифракционного максимума. Нас интересует, как быстро спадает интенсивность дифракционного максимума, возникающего при углах удовлетворяющих уравнению переходит ли один максимум сразу же в следующий или между ними имеется достаточно широкий провал? Рассмотрим практически важный случай решетки, состоящей из большого числа рассеивающих центров (щелей). Разделим мысленно решетку на две части и будем сравнивать по фазе пары лучей, идущие от первого центра и центра, второго центра и центра и т. д. При максимальном усилении волн разность хода между парами таких лучей рарна Если слегка изменить ход лучей и наклонить их так, чтобы разность хода возросла на длины волны, то максимальное усиление складывающихся волн заменится их полным уничтожением. Первая волна погасит вторая Если мы отойдем от положения максимума еще дальше, то, как показывает точное вычисление, интенсивность и дальше останется практически равной нулю до тех пор, пока угол отклонения не приблизится к положению следующего максимума.

Угол, при котором возникает максимум дифракции порядка, дается формулой

Если обозначить через угловую полуширину максимума, то для угла можно записать условие

Отсюда

значит,

Расстояние между двумя соседними максимумами определится выражением

Мы видим, что полуширина линии, грубо говоря, в раз меньше расстояния между максимумами. При больших значениях т. е. в решетках, состоящих из большого числа рассеивающих центров, дифракционные линии исключительно узки и подробности в спектре, полученном от решетки, весьма велики. Представьте, например, что на решетку падает свет, в состав которого входят две близкие волны и Для простоты положим, что речь идет о рассеянии при углах меньше 20° и Тогда можно сказать следующее: в порядке эти две линии будут сдвинуты на угол который, как видно из условия будет равен

Ширина максимума для каждой волны найдется из уравнения

Ясно, что эти две линии будут видны раздельно (оптики говорят: будут разрешены), если

Выражение характеризует разрешающую способность решетки.

Пример. .В хорошей дифракционной решетке расстояние между штрихами число штрихов Тогда разрешающая сила для спектра второго порядка Это значит, что, например для могут быть различены две линии, разность длин волн которых равна 0,03 А.

Остановимся теперь на интенсивности дифрагированного луча. Волны, направляющиеся в точку максимума, действуют в одной фазе. Если амплитуда волны, рассеиваемой одним центром, то суммарная амплитуда, идущая в направлении максимума, будет а интенсивность — Высота дифракционного максимума пропорциональна квадрату числа рассеивающих центров. Так как ширина максимума обратно пропорциональна то площадь его (интегральная интенсивность максимума) пропорциональна первой степени Если мы будем сравнивать между собой различные максимумы, то увидим, что отношение их высот (или, что все равно, площадей) зависит от значения для этих направлений амплитуды рассеяния одним центром.

Таким образом, период решетки предопределяет места, где расположены максимумы, а форма (в широком смысле слова) щели или рассеивающего центра определяет интенсивность максимумов.

Допустим, что периодом решетки определены углы Только под этими углами идут рассеянные лучи. Но какова будет интенсивность этих лучей для первого, второго и т. д.

(кликните для просмотра скана)

порядков дифракции? Это зависит от значений амплитуды одного центра рассеяния для этих углов рассеяния. Может случиться так, что для угла амплитуда будет в максимуме. Тогда второй порядок дифракции будет представлен сильной линией. Если под углом амплитуда близка к нулю, то, значит, линия третьего порядка будет отсутствовать в дифракционном спектре, и т. д. Иллюстрацией сказанному может послужить рис. 159, на котором изображены для двух разных структур решетки дифракционные спектры и факторы рассеяния одного центра (пунктир).

На этих принципах основывается любого рода изучение структуры с помощью дифракционных спектров. Расстояние между дифракционными линиями позволяет найти период решетки (если, конечно, известна длина волны), а интенсивности линий разных порядков позволяют судить о структуре рассеивающего центра.

Пример. Дана дифракционная решетка на которую падает параллельный монохроматический пучок света Дифракционные максимумы будут видны под углами ширина дифракционного максимума будет Полученные результаты справедливы при любом виде рассеивающего центра. Для расчета относительной интенсивности дифракционных максимумов надо обратиться к конкретному виду рассеивающих центров. Рассмотрим два случая.

1. Рассеивающими центрами являются одинарные полоски шириной . Формула интенсивности при дифракции на щели получена в § 137. Величина интенсивности пропорциональна квадрату амплитуды рассеяния от одной полоски: Интенсивность дифракционного максимума определится величиной в направлении которое определится из уравнения Если принять за 100, то для остальных интенсивностей получим

2. Рассеивающими центрами являются двойные полоски шириной каждая. Период решетки а прежний (рис. 159, б). Ясно, что положение и ширина дифракционных максимумов не изменилась. Расчет, аналогичный проведенному в § 137, показывает, что для двух щелей Отсюда легко определить относительные интенсивности дифракционных максимумов, по-прежнему полагая