ГЛАВА 16. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

§ 111. Обобщение закона электромагнитной индукции

Мы доказали в предыдущей главе, что движение проводника в магнитном поле сопровождается индукционными явлениями. Если этот движущийся проводник составляет часть контура, магнитный поток через который меняется при движении, то в контуре возникает ток, соответствующий э. д. с. индукции Причина возникновения тока заключается в действии лоренцевой силы: на единичный электрический заряд действует сила, равная (в системе СГС).

При возникновении индукционного тока существенно лишь относительное перемещение провода и магнитного поля. С одинаковым правом можно говорить, что лоренцева сила возникает тогда, когда заряд движется в магнитном поле, или в том случае, если магнитное поле движется, а заряд «покоится». Этот факт следует из принципа относительности.

Выберем систему координат, по отношению к которой магнитное поле изменяется; например, свяжем систему координат с лабораторным столом, вдоль которого движется полюс постоянного магнита. Тогда на заряды, находящиеся в покое по отношению к лабораторному столу, будет действовать сила Лоренца. Представим себе, что нам ничего не известно о движущемся постоянном магните. Установив наличие силы, действующей на покоящиеся электрические заряды, мы сделаем вполне справедливый вывод о существовании в этой системе электрического поля, напряженность которого равняется силе Лоренца, отнесенной к величине заряда. Итак, напряженность электрического поля в «покоящейся» системе координат, по отношению к которой источник постоянного магнитного поля движется со скоростью выражается формулой

Разумеется, законы электрического поля, создаваемого зарядами, и электрического поля, создаваемого движением системы по отношению к магнитному полю, будут разными. Прежде всего, у нового поля, с которым мы знакомимся, нет источников — зарядов. Значит, силовые линии не имеют начала и конца. С другой стороны, нетрудно видеть, что силовые линии этого электрического поля будут замкнутыми, т. е. электрическое поле, создаваемое движущимся магнитным полем, является полем вихревым.

Мысленно построим произвольный контур (неподвижный по отношению к лабораторному столу). Движущееся магнитное поле будет пересекать этот контур. Если бы на месте мысленного контура

был реальный проволочный контур, то согласно закону Фарадея в нем возникла бы равная, как нам известно, Следовательно, интеграл не равен нулю; а это и значит, что электрическое поле созданное движущимся магнитным полем, является полем вихревым.

Для реального проволочного контура где магнитный поток, проходящий через контур. Но наличие или отсутствие провода на месте замкнутой кривой ничего не меняет. Равенство должно иметь место и для мысленного контура, который построен в пространстве, где движутся источники магнитного поля.

Остается сделать последнее обобщение. Опыт показывает, что причины изменения магнитного поля не играют роли в индукционном эффекте. Всегда можно подобрать равноценные изменения полей, создаваемые движением постоянного магнита или изменением силы тока в неподвижной катушке, например приближением постоянного магнита или усилением тока в катушке, создающей поле. Поэтому найденный закон должен быть справедлив всегда во всех случаях, независимо от того, по какой причине меняется магнитное поле. Итак, если в какой-либо области пространства меняется магнитное поле (магнитный поток), то возникает вихревое электрическое поле, связанное с изменением магнитного поля законом: напряжение вдоль замкнутого контура равняется производной по времени от магнитного потока, проходящего через эту кривую:

или в системе СИ

В этом состоит обобщенный закон индукции — один из важнейших законов природы.

Раскроем математическое содержание закона. Подставляя выражения электрического напряжения и магнитного потока, запишем его в развернутом виде

Остановимся, прежде всего, на знаке минус, который надо ввести в развернутой форме записи. Дело в том, что в векторной алгебре направление обхода контура и направление нормали к площади контура связаны между собой: положительное направление нормали в

правовинтовой системе идет так, что с конца вектора мы видим вращение против часовой стрелки (рис. 123). Построим в пространстве замкнутую кривую и присвоим ей произвольное направление обхода. Этим будет уже определено направление нормали к площадке, охваченной рассматриваемой кривой. Через контур проходит магнитный поток. В данное мгновение он может быть положительным или отрицательным — вектор индукции образует острый или тупой угол с нормалью. Производная по времени от потока будет положительной, если поток возрастает, и будет отрицательной, "если поток убывает. Таким образом, учитывая знак минус в формуле закона индукции, можно сказать следующее: электрическое напряжение будет положительно, т. е. направление электрической силовой линии совпадет с принятым положительным направлением обхода, в том случае, если положительный поток убывает или отрицательный поток возрастает; наоборот, напряжение отрицательно, если положительный поток возрастает, а отрицательный убывает. Эти соотношения хорошо видны на рис. 124.

Покажем, что знак минус в формуле индукции есть математическое выражение правила Ленца.

Рис. 123.

Рис. 124.

Предположим, например, что к катушке приближается своим северным полюсом стержневой магнит. Примем направление обхода контура, указанное на рис. 125. Тогда положителен магнитный поток и положительна его производная по времени. Электрическое напряжение должно быть отрицательным и индукционный ток направлен в сторону, обратную той,

которая принята за положительное направление обхода. Магнитное поле индукционного тока мы сразу же найдем, вспоминая, что силовые линии выходят с той стороны кольцевого тока, где ток представляется идущим против часовой стрелки. Следовательно, при сближении магнита с контуром в последнем возникает ток такого направления, который своим полем препятствует вызвавшему его эффекту. Это и есть правило Ленца. Не составляет труда продемонстрировать это важное правило и для других частных случаев.

Рис. 125.

Подведем итоги. Переменное магнитное поле неотделимо от поля электрического. Более того, мы видим, что разделение полей на электрические и магнитные носит относительный характер. С одной точки зрения в пространстве имеется одно лишь магнитное поле. С другой точки зрения наряду с магнитным полем присутствует и электрическое поле.

Вихревое электрическое поле образуется электрическими линиями, обворачивающимися около векторов магнитной индукции, при условии, что магнитный поток, пронизывающий замкнутую силовую линию, изменяется во времени. При возрастании потока силовая линия имеет направление по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора индукции.