§ 116. Магнитная энергия поля

В главе, посвященной электрическому полю, мы показывали, что электрическую энергию системы можно представить себе как величину, распределенную в пространстве с плотностью (в системе Полную электрическую энергию системы можно найти интегрированием этого выражения по пространству, занятому полем. Мы подчеркивали важность этого обстоятельства, так как оно позволяет выразить энергию через напряженность поля и обосновывает представление о локализации поля.

Естественно, мы ожидаем, что подобные соображения будут справедливы и для магнитного поля. Это действительно так, и можно строгим вычислением показать переход от формулы магнитной энергии к выражению для плотности магнитной энергии совершенно аналогичной соответствующему выражению для электрического поля.

Проведем этот переход для простейшего случая однородного поля кругового соленоида. Подставляя значение индуктивности в формулу магнитной энергии, получим

Но есть напряженность поля. Следовательно, магнитная энергия катушки может быть представлена в виде

так что плотность магнитной энергии представится выражением

Таким образом, для любой системы токов магнитная энергия может быть представлена интегралом по объему, занятому полем:

Рассмотрим магнитную энергию двух токов. Ее выражение распадается естественным образом на три интеграла, если напряженность результирующего поля представить как сумму напряженностей обоих токов: Смысл каждого из интегралов, входящих в выражение магнитной энергии

довольно очевиден. Первый и последний интегралы дают магнитные энергии первого и второго токов. Что же касается второго интеграла, то его можно назвать энергией взаимодействия двух токов. Действительно, этот интеграл может иметь разные значения при одинаковых величинах напряженностей полей Представим себе, что меняется взаимное положение двух токов, тогда векторы полей вообще говоря, повернутся друг к другу и значение энергии взаимодействия изменится.

Первый и третий интегралы можно, конечно, представить через силу тока и индуктивность как Что же касается среднего интеграла, то ясно, что его величина должна быть пропорциональной произведению сил токов. Значит,

Коэффициент пропорциональности носит название коэффициента взаимной индукции. Так же как и индуктивность, зависит от геометрии системы и распределения в ней магнитных тел.

Из этого вычисления ясно, что с изменением магнитной энергии системы токов связаны не только работа сторонних сил и выделение джоулева тепла, но и работа поля, затрачиваемая при перемещении проводников под действием амперовой силы. Закон сохранения энергии требует поэтому выполнения такого равенства:

Здесь А — механическая работа. Таким образом, утверждается, что магнитная энергия затрачивается в общем случае на работу

перемещения проводников и на превышение выделения джоулева тепла над работой сторонних сил.

Приведенные в этом параграфе соотношения не учитывают лишь одного явления — магнитного гистерезиса. Поскольку этот вопрос носит специальный характер, мы не будем на нем останавливаться.

Пример. Энергия, запасенная в магнитном поле катушки (пример на стр. 378), будет

Плотность энергии

Разумеется, тот же результат можно получить, поделив полную энергию магнитного поля на объем катушки: