Векторное ускорение.

Продолжая рассмотрение криволинейного движения, построим в виде стрелок истинные скорости движения тела при прохождении через точки траектории. Если бы мы не ввели в рассмотрение векторную скорость, то должны были бы

сказать так: скорость в В иная, чем в кроме того, изменилось направление движения. Пользуясь векторной скоростью, мы скажем короче: в точке В иная векторная скорость, чем в А.

Векторная скорость может меняться по величине и по направлению.

Если участок прямолинейный, то векторы направлены одинаково. Величина изменения скорости найдется арифметическим вычитанием длины вектора из длины вектора

Рассмотрим теперь криволинейный участок векторы отличаются как по величине, так и по направлению. Для того чтобы определить, насколько возросла величина скорости, надо, по-прежнему, вычесть длину вектора из

Однако это число не характеризует, конечно, полностью тех изменений, которые произошли в движении.

Рис. 4,

Вычтем теперь вектор из вектора в соответствии с правилами операции над векторами. На рис. 4 показан вектор

Вектор сумма есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.

Вектор назовем векторным приращением скорости. Длина этого вектора в случае криволинейного движения не равна

Из рисунка очевидно, что величина векторного приращения больше разности величин векторных скоростей Для того чтобы узнать векторную скорость в точке В, надо по правилу параллелограмма сложить вектор скорости с приращением

Теперь мы можем следующим образом определить величину ускорения для криволинейного движения. Вектор, равный отношению векторного приращения скорости ко времени, в течение которого это приращение произошло, называется средним векторным ускорением:

При уменьшении промежутка времени это отношение стремится к пределу. Вектор

называется истинным векторным ускорением тела в данный момент движения. Иначе говоря, векторное ускорение равно производной от векторной скорости:

и

Векторное ускорение определяет однозначно характер изменения скорости тела.

Вообще говоря, вектор ускорения может образовывать любой угол с траекторией движения. Этот угол определяет характер ускорения и кривизну траектории следующим образом. Через интересующую нас точку траектории проведем окружность, имеющую с траекторией общую касательную в этой точке и на данном участке кривой с наибольшей точностью приближающуюся к ней. Эта окружность называется касательной, а ее радиус называется радиусом кривизны в данной точке. Вектор ускорения всегда направлен внутрь этой окружности. Если движение ускоренное, то вектор а образует острый угол с траекторией (т. е. с касательной к траектории в данной точке). Если движение замедленное, то этот угол будет тупым. Наконец, если скорость по величине не меняется, то векторное ускорение направлено по нормали к траектории.

Эти положения можно строго доказать; мы удовлетворимся их геометрической иллюстрацией, приведенной на рис. 5.

Соответственно со сказанным принято раскладывать вектор ускорения на две составляющие (рис. 6):

Так как векторный треугольник прямоугольный, то

Вектор направленный вдоль траектории, характеризует изменение скорости по величине; он называется тангенциальным ускорением. Нетрудно доказать, что тангенциальное ускорение

где приращение скорости по величине.

Вектор направлен по нормали к траектории; он характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальным ускорением. Нормальное ускорение связано простой формулой с величиной скорости и радиусом кривизны в данной точке, а именно,

Рис. 5.

Рис. 6.

Из этой формулы, которая выводится в курсах теоретической механики на основании геометрических соображений, следует, что движение с неизменным нормальным ускорением постоянные величины) есть движение по окружности. В этом случае есть постоянная величина для всех точек траектории, равная радиусу окружности.

Нормальное ускорение часто называют также центростремительным ускорением.

Центростремительное ускорение тела при движении по окружности с радиусом можно также выразить через период или частоту или угловую скорость этого движения. Между этими величинами и линейной скоростью имеются следующие простые соотношения:

Последние две формулы являются определениями вспомогательных величин и

Таким образом, центростремительное ускорение при движении тела по окружности может быть записано также в виде

Необходимо подчеркнуть, что житейское понимание слова «ускорение» значительно уже его физического смысла. Понятие физического ускорения включает в себя замедление (отрицательное ускорение); самое же главное — то, что ускоренным мы называем и равномерное движение, если только оно происходит по кривой линии. Движением без векторного ускорения является лишь одновременно прямолинейное и равномерное движение.

Порядок ускорений. Протон в современном ускорителе движется по окружности с нормальным ускорением порядка Линейное ускорение современных реактивных снарядов Ускорение хоккейного мяча Ускорение автомобиля, трогающегося с места, Угловая скорость ротора турбогенератора на расстоянии от оси вращения частицы движутся с ускорением Угловая скорость колеса велосипеда частицы обода с радиусом имеют нормальное ускорение около