§ 31. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Чтобы проследить за закономерностями сложного колебания, являющегося суммой двух взаимно перпендикулярных колебаний, проще всего воспользоваться электронным осциллографом. Об этом приборе будет еще речь впереди (стр. 418). Сейчас достаточно сказать, что осциллограф позволяет осуществить колебания электронного луча в двух взаимно перпендикулярных направлениях. След электронного луча на светящемся экране описывает траекторию, возникающую как результат участия светящегося пятнышка в двух взаимно перпендикулярных колебательных движениях.

Пусть колебание следа луча в вертикальном направлении происходит по закону а в горизонтальном направлении — в соответствии с формулой Чтобы выяснить характер результирующей траектории, надо из этих двух уравнений исключить время и найти уравнение Записывая выражения смещений в виде

и заменяя во втором уравнении на на получим после элементарных преобразований уравнение эллипса, повернутого по отношению к осям координат:

Начнем теперь менять параметры колебаний и проследим за поведением эллипса. Если изменять разность фаз, то эллипс будет менять свою форму и одновременно поворачиваться (рис. 54).

Рис. 54.

При разности фаз, равной 90°, оси эллипса будут совпадать с осями координат. При изменении разности фаз в меньшую или большую сторону эллипс начнет поворачиваться налево или направо и одновременно сужаться. Когда разность фаз обратится в нуль, то эллипс выродится в прямую линию. Сказанное нужно проверить, подставляя в написанное выше уравнение эллипса значения 180°.

Если амплитуды колебаний вдоль вертикали и горизонтали равны, то при разностях фаз в 90 и 270° траектория становится окружностью. Между этими двумя разностями фаз есть различие, хотя они и дают тождественные траектории. В одном случае луч обегает окружность по часовой стрелке, а в другом — против. Чтобы это увидеть, надо вернуться к исходным уравнениям. Они запишутся так:

Первая пара уравнений указывает, что при возрастании времени от точка с координатами начинает двигаться в сторону отрицательных у, т. е. по часовой стрелке. Обратное движение указывается второй парой уравнений.

При демонстрации с помощью осциллографа можно обратить внимание на то, что эллипсы не стоят на месте, а медленно перемещаются так, как будто бы происходило непрерывное изменение сдвига фаз. Если мы посмотрим внимательно, то будет видно, что эллипс не поворачивается, а кривая, вычерчиваемая световым пятном, как бы непрерывно переходит из одного эллипса в другой. Подобное явление имеет место тогда, когда частоты колебаний слегка различаются. Действительно, ведь различие частот вполне эквивалентно случаю непрерывно меняющейся разности фаз. Скажем, частота вертикального колебания на больше частоты горизонтального колебаний тогда

где в скобках стоит переменная разность фаз.

Если частоты существенно отличаются друг от друга, то луч не успевает пройти значительную часть одного эллипса, как уже фаза его становится иной.

Рис. 55.

В результате описываемые кривые все меньше и меньше напоминают эллипсы. Примеры этих причудли кривых, называемых фигурами Лиссажу, показаны на рис. 55, Изображены кривые для отношения частот