§ 73. Распределение частиц по высоте в поле тяжести

Если в жидкости находятся в большом количестве маленькие частички, более тяжелые, чем жидкость, и не растворяющиеся в ней, то на первый взгляд может показаться, что рано или поздно эти частицы должны опуститься на дно. Это, однако, неверно, — так было бы, если бы отсутствовало тепловое движение.

Действительно, сила тяжести тянет частицы вниз, однако хаотическое тепловое движение, являющееся неотъемлемым свойством любых частиц, будет непрерывно препятствовать действию силы тяжести. Частица движется вниз, но по дороге может испытать столкновение, которое отбросит ее кверху; опять начнется движение вниз и опять столкновение может отбросить частицу вверх или в сторону. Если какой-то частице удалось добраться до дна сосуда, то зато случайными ударами другая частица может быть поднята со дна и случайными толчками может быть доведена до высоких слоев жидкости. Вполне понятно, что в результате установится некоторое неравномерное распределение частиц. В верхних слоях частиц будет меньше, ближе ко дну сосуда — больше всего. Чем тяжелее частицы и чем меньше температура, тем больше будет «прижато ко дну» распределение частиц по высоте.

Количественная сторона этого интересного явления, которое имеет место для любых частиц, расположенных в поле тяжести (молекул газа или частиц эмульсии, взвешенных в газе или жидкости), освещается законом Больцмана. Экспоненциальный множитель в формуле распределения Больцмана перепишем в виде

вместо потенциальной энергии тяготения мы подставили ее выражение Нас интересует число всех молекул (любых скоростей), находящихся на высоте между Оно будет равно

Здесь коэффициент пропорциональности по смыслу есть не что иное, как удельное число частиц при Закон убывания частиц с высотой показан на рис. 86.

Вид формулы показывает справедливость утверждения, сделанного вышегчем больше масса частиц и чем меньше температура, тем быстрее падает кривая. Из формулы видно также, что быстрота убывания зависит от ускорения силы тяжести. На разнцх планетах частицы должны быть по-разному распределены с высотой.

Согласно приведенной формуле какое-то (пусть очень малое) число молекул имеется на любой высоте над поверхностью Земли. Это значит, что молекулы могут удаляться от Земли, улетать в

мировое пространство, так как не исключено, что случайными столкновениями то та, то другая молекула получит скорость достаточную, как известно, для ухода из сферы земного притяжения. Можно поэтому сказать, что Земля постепенно теряет свою атмосферу. Однако оценки скорости рассеяния атмосферы показывают, что она ничтожно мала. За все время существования Земли было потеряно ничтожное количество воздуха.

Рис. 86.

Другое дело на Луне, где скорость преодоления притяжения равна Такая небольшая скорость достигается молекулами с большой легкостью, поэтому на Луне нет атмосферы.

Формула убывания числа частиц с высотой может быть записана для плотности газа или для давления газа. Так как давление газа пропорционально числу частиц в единице объема, то формулу можно переписать в виде

Здесь давление на нулевом уровне. Последнюю формулу называют барометрической. С ее помощью метеорологи, производящие йзмерения атмосферного давления на больших высотах, приводят результаты своих измерений «к уровню моря».

Необходимо отметить еще одно важное применение формулы распределения частиц по высоте: она была использована французским ученым Перреном для опытного определения числа Авогадро. В соответствии с условиями опыта Перрену пришлось несколько модифицировать формулу распределения молекул по высоте. Он изучал эмульсию, получающуюся при растворении гуммигута (разновидность смолы) в воде. В этой эмульсии при помощи микроскопа можно рассмотреть целый муравейник зернышек сферической формы. При помощи центрифуги Перрен сортировал зернышки гуммигута по размеру. За несколько месяцев работы было получено зерен гуммигута диаметром 0,74 микрона. Плотность гуммигута т. е. масса одного зерна была равна

Точмгс определение размеров зерен было нелегкой задачей. Перрен выполнял это тремя независимыми способами:

1) под микроскопом определялась длина цепочки из нескольких десятков плотно прилегающих зерен;

2) взвешивалось несколько тысяч зерен и размер вычислялся через известную плотность гуммигута;

3) по формуле Стокса (см. стр. 196) из наблюдений за скоростью опускания в эмульсии облачка из зерен. При этом предполагалось, что по закону Архимеда зерно опускается под действием силы — где плотность жидкости, радиус зерна. Эта сила при равномерном опускании уравновешена силой вязкого трения, вычисляемой по формуле Стокса. Из этого условия определяется

Все три способа дали хорошо совпадающие результаты. Это означало, что действующий вес микроскопического зернышка, плавающего в жидкости, можно записать в виде Вспомним, что Отсюда получается барометрическая формула для «атмосферы» из зерен гуммигута, плавающих в воде:

Опыт сводился к определению отношения концентраций на равностоящих уровнях. Делалось это при помощи фокусирования микроскопа на достаточно тонкий слой эмульсии и подсчета числа частиц в поле зрения за одинаковые промежутки времени. Меняя вязкость эмульсии в сотни раз, Перрен неукоснительно наблюдал, что отношение концентраций соответствовало барометрической формуле. Подставляя значения можно было определить Оказалось, что, несмотря на широкие вариации вязкости эмульсии и размеров зерен, найденное таким образом блестяще совпадает со значениями, предсказанными молекулярно-кинетической теорией: Перрен получил (по современным данным Это с полной достоверностью свидетельствовало, больцмановское распределение по энергиям применимо даже к таким частицам, «грамм-молекула» которых равна 50 000 тонн!