§ 83. Движение в вязкой среде

Соображения, касающиеся размерности физических величин, помогают в решении задач огромной практической важности, например задачи о стационарном обтекании жидкостью или газом препятствия, или, что то же самое, о движении тела в среде.

Наиболее важной проблемой является вопрос о силе сопротивления, испытываемой телом при движении в среде. Эта сила сопротивления может зависеть от размеров тела скорости движения тела и свойств жидкости (или газа), а именно, его плотности и вязкости Другие величины не должны играть роли в этом процессе.

Подберем сначала безразмерную величину, составленную из Мы вспоминаем, что кинематическая, вязкость

имеет размерность но такую же размерность имеет произведение Следовательно,

есть безразмерная величина. Она обозначается как указано и называется числом Рейнольдса. Можно убедиться, что есть единственная безразмерная комбинация указанных величин. Другие безразмерные величины могут быть лишь функциями числа Рейнольдса, Если движения разных тел в разных жидкостях приводят к одному и тому же значению то такие движения называют подобными. Существует большая техническая дисциплина — теория подобия, в которой выводы об особенностях явления делаются на основании наблюдения подобного явления, осуществленного на модели.

Вернемся теперь к поставленной задаче: отыскать выражение силы сопротивления, испытываемой телом, движущимся в среде.

Размерность силы есть Выразим ее через размерность тех величин, которыми мы оперируем, так как больше она ни от чего не может зависеть. Тогда

т. е.

Значит,

Выражая через 8, получим

Таким образом, в наиболее общем случае сила может быть представлена в виде суммы слагаемых, каждое из которых имеет найденную размерность, т. е.

где А — числовые коэффициенты. Итак, доказано, что сила должна выражаться формулой

Этот результат получен только из соображений о размерности! Функция нам неизвестна и должна быть найдена на опыте.

Из простых соображений мы можем получить окончательные формулы для граничных случаев. Если скорость мала, то должна быть пропорциональна первой степени скорости и. Для этого должна равняться следовательно,

Числовое значение константы зависит от формы тела. Для шарика

радиус шарика). Последняя формула носит имя Стокса.

Пример. Ртутный шарик опускаясь в глицерине со скоростью 0,6 см/с, испытывает силу трения около 8 дин.

В случае очень больших скоростей движение жидкости по отношению к телу перестает быть стационарным. Получается вихревое, или турбулентное, движение. Тело может двигаться стационарно, а частицы жидкости движутся более или менее случайным образом. Благодаря интенсивному перемешиванию передача движения от слоя к слою перестает зависеть от вязкости. Это может быть лишь в том случае, если стремится к пределу при возрастании скорости. Поэтому при больших скоростях движения сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: