§ 182. Потенциальный ящик

В свое время (§ 13) мы познакомились с потенциальными кривыми, наглядно передающими условия движения частицы. Простейшей кривой такого типа является прямоугольная кривая, так называемый потенциальный ящик. В таком ящике потенциальная анергия имеет неизменное значение на протяжении некоторого отрезка а (для простоты ограничимся линейной задачей). На бортах ямы потенциальная энергия меняется скачком. Если стенки ящика очень высоки, то можно считать потенциальную энергию внутри ящика равной нулю (ведь выбор начала отсчета не играет роли), а на бортах ямы равной бесконечности (рис. 210).

Рис. 210,

Положим, что в таком ящике находится один электрон (или любая другая частица), и попробуем решить вопрос о характере его движения. Мы решаем простейшую одномерную задачу и полагаем, что электрон движется лишь вдоль оси х. Если бы к электрону были применимы законы механики Ньютона, то такой электрон двигался бы непрерывно сначала в одну сторону ящика, упруго отражался бы от стенки, затем двигался бы в обратную сторону и т. д.

Иначе быть не может с точки зрения механики Ньютона, поскольку при кинетическая энергия будет постоянной. Таким образом, по поводу возможных движений в потенциальном ящике механика «обычной» частицы приводит к следующим заключениям. В ящике возможно движение с любой кинетической энергией частица может также покоиться в ящике. Для каждой данной энергии движение будет равномерным и будет происходить то в одну, то в другую сторону, причем в конце дозволенного интервала скорость меняется скачком по направлению.

Посмотрим теперь, какой ответ о движении электрона в таком ящике даст квантовая механика.

Поведение электрона мы должны характеризовать функцией квадрат которой укажет вероятность нахождения электрона в какой-либо точке дозволенного отрезка. Так как внутри ящика то уравнение Шредингера упрощается и записывается в виде

Этому уравнению удовлетворяют синус и косинус от аргумента Если ящик ограничен координатами то при этих

значениях стенки электрон не проникает). Поэтому не годится в качестве решения уравнения при Значит,

Но длина волны к не может быть любой, так как при Значит, должно выполняться равенство

или

Итак, длина волны может принять значения 2а, Мы видим, что "ф-функция представляет собой амплитуду стоячей волны (ср. стр. 116) и вся рассмотренная задача имеет формально много общего с задачей колебания стержня или струны. Но если длина волны к имеет дискретный ряд значений, то энергия микрочастицы уже не может быть любой, а равна

целое число называется квантовым числом.

Таким образом, уравнение Шредингера приводит к квантованию энергии. Микрочастица в потенциальном ящике имеет ряд дискретных уровней энергии. Самый низкий энергетический уровень имеет место при Энергия равна Это — нулевая энергия частицы, находящейся в потенциальном ящике.

Наличие нулевой энергии является интересной особенностью микрочастиц. У «обычных» частиц низшей энергией является нулевое значение. У микрочастиц ни при каких условиях не достигается прекращение движения. При абсолютном нуле температуры микрочастица обладает определенной нулевой энергией, существенно различной в зависимости от характера поля сил, в котором находится частица.

Пример. Пусть (характерная для атомной области величина). Тогда нулевая энергия электрона в потенциальном ящике будет

Пусть см (свободный электрон в куске металла). Тогда

Находясь на данном энергетическом уровне, электрон имеет скорость, которую можно вычислить из длины волны: Однако движение электрона уже нельзя описывать уравнениями

классическом механики, и невозможно указать, где находится электрон в тот или иной момент времени. Зато можно найти значение плотность вероятности нахождения электрона в том или ином месте пространства, по уравнению

Характерным обстоятельством является следующее: каждому энергетическому уровню соответствует своя (того же номера волновая функция (собственная функция).

Рис. 211.

На рис. 211 показана -функция и ее квадрат для четырех первых энергетических уровней электрона, находящегося в потенциальном ящике. Квантовая механика приводит к выводу, что электрон бывает не одинаково часто в разных точках пространства. Если энергия электрона — наименьшая (он находится на основном уровне, то чаще всего мы встретим электрон в середине «ящика». Если электрон находится в состоянии с то он никогда не бывает в центре дозволенного отрезка, и т. д. Кривые дают ясное представление о тех местах, где бывает электрон.

Подведем итоги. Механика микрочастиц приводит к следующим заключениям в отношении движения микрочастицы в потенциальном ящике. В ящике возможно движение лишь с дискретным рядом значений энергии Частица не может покоиться, так как и самому низкому энергетическому уровню соответствует движение с некоторой скоростью. Сведения о характере движения частицы при определенной энергии указываются квадратом -функции; зная можно узнать, в каких точках пространства микрочастица бывает чаще, а в каких точках — реже.

Нам остается выяснить, при каких условиях становится возможным «обычное», т. е. классическое, описание поведения частицы.

Представим себе, что речь идет о молекуле кислорода, запертой в реальном ящике, размеры которого в несколько десятков раз превышают размеры молекул. Пусть молекула имеет среднюю

энергию молекулы кислородного газа при комнатной температуре, Беря значения найдем, на каком квантовом уровне будет находиться микрочастица. Вычисление дает Отсюда следуют два вывода. Во-первых, кривая будет иметь столь огромное число чередующихся максимумов и минимумов, что мы не сильно погрешим против истины, если скажем: вероятность пребывания частицы одинакова для всех точек ящика. Во-вторых, мы видим, что соседние уровни энергии будут очень близки.

Обе особенности, следующие из основного уравнения квантовой механики, стираются: распределение вероятностей для частицы становится практически неотличимым от огибающей кривой, энергетические уровни сближаются настолько, что дискретность энергии становится практически незаметной. Результаты квантовой механики начинают совпадать с результатами механики больших частиц. Это происходит всегда, когда энергия частицы соответствует большому квантовому числу. Мы пришли к важному принципу квантовой механики: при больших квантовых числах результаты квантовой механики совпадают с механикой «обычных» частиц. Это значит, что при больших понятие траектории частицы и другие особенности, свойственные обычной частице, применимы и к микрочастице.