Главная > Введение в физику (А. И. Китайгородский)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 182. Потенциальный ящик

В свое время (§ 13) мы познакомились с потенциальными кривыми, наглядно передающими условия движения частицы. Простейшей кривой такого типа является прямоугольная кривая, так называемый потенциальный ящик. В таком ящике потенциальная анергия имеет неизменное значение на протяжении некоторого отрезка а (для простоты ограничимся линейной задачей). На бортах ямы потенциальная энергия меняется скачком. Если стенки ящика очень высоки, то можно считать потенциальную энергию внутри ящика равной нулю (ведь выбор начала отсчета не играет роли), а на бортах ямы равной бесконечности (рис. 210).

Рис. 210,

Положим, что в таком ящике находится один электрон (или любая другая частица), и попробуем решить вопрос о характере его движения. Мы решаем простейшую одномерную задачу и полагаем, что электрон движется лишь вдоль оси х. Если бы к электрону были применимы законы механики Ньютона, то такой электрон двигался бы непрерывно сначала в одну сторону ящика, упруго отражался бы от стенки, затем двигался бы в обратную сторону и т. д.

Иначе быть не может с точки зрения механики Ньютона, поскольку при кинетическая энергия будет постоянной. Таким образом, по поводу возможных движений в потенциальном ящике механика «обычной» частицы приводит к следующим заключениям. В ящике возможно движение с любой кинетической энергией частица может также покоиться в ящике. Для каждой данной энергии движение будет равномерным и будет происходить то в одну, то в другую сторону, причем в конце дозволенного интервала скорость меняется скачком по направлению.

Посмотрим теперь, какой ответ о движении электрона в таком ящике даст квантовая механика.

Поведение электрона мы должны характеризовать функцией квадрат которой укажет вероятность нахождения электрона в какой-либо точке дозволенного отрезка. Так как внутри ящика то уравнение Шредингера упрощается и записывается в виде

Этому уравнению удовлетворяют синус и косинус от аргумента Если ящик ограничен координатами то при этих

значениях стенки электрон не проникает). Поэтому не годится в качестве решения уравнения при Значит,

Но длина волны к не может быть любой, так как при Значит, должно выполняться равенство

или

Итак, длина волны может принять значения 2а, Мы видим, что "ф-функция представляет собой амплитуду стоячей волны (ср. стр. 116) и вся рассмотренная задача имеет формально много общего с задачей колебания стержня или струны. Но если длина волны к имеет дискретный ряд значений, то энергия микрочастицы уже не может быть любой, а равна

целое число называется квантовым числом.

Таким образом, уравнение Шредингера приводит к квантованию энергии. Микрочастица в потенциальном ящике имеет ряд дискретных уровней энергии. Самый низкий энергетический уровень имеет место при Энергия равна Это — нулевая энергия частицы, находящейся в потенциальном ящике.

Наличие нулевой энергии является интересной особенностью микрочастиц. У «обычных» частиц низшей энергией является нулевое значение. У микрочастиц ни при каких условиях не достигается прекращение движения. При абсолютном нуле температуры микрочастица обладает определенной нулевой энергией, существенно различной в зависимости от характера поля сил, в котором находится частица.

Пример. Пусть (характерная для атомной области величина). Тогда нулевая энергия электрона в потенциальном ящике будет

Пусть см (свободный электрон в куске металла). Тогда

Находясь на данном энергетическом уровне, электрон имеет скорость, которую можно вычислить из длины волны: Однако движение электрона уже нельзя описывать уравнениями

классическом механики, и невозможно указать, где находится электрон в тот или иной момент времени. Зато можно найти значение плотность вероятности нахождения электрона в том или ином месте пространства, по уравнению

Характерным обстоятельством является следующее: каждому энергетическому уровню соответствует своя (того же номера волновая функция (собственная функция).

Рис. 211.

На рис. 211 показана -функция и ее квадрат для четырех первых энергетических уровней электрона, находящегося в потенциальном ящике. Квантовая механика приводит к выводу, что электрон бывает не одинаково часто в разных точках пространства. Если энергия электрона — наименьшая (он находится на основном уровне, то чаще всего мы встретим электрон в середине «ящика». Если электрон находится в состоянии с то он никогда не бывает в центре дозволенного отрезка, и т. д. Кривые дают ясное представление о тех местах, где бывает электрон.

Подведем итоги. Механика микрочастиц приводит к следующим заключениям в отношении движения микрочастицы в потенциальном ящике. В ящике возможно движение лишь с дискретным рядом значений энергии Частица не может покоиться, так как и самому низкому энергетическому уровню соответствует движение с некоторой скоростью. Сведения о характере движения частицы при определенной энергии указываются квадратом -функции; зная можно узнать, в каких точках пространства микрочастица бывает чаще, а в каких точках — реже.

Нам остается выяснить, при каких условиях становится возможным «обычное», т. е. классическое, описание поведения частицы.

Представим себе, что речь идет о молекуле кислорода, запертой в реальном ящике, размеры которого в несколько десятков раз превышают размеры молекул. Пусть молекула имеет среднюю

энергию молекулы кислородного газа при комнатной температуре, Беря значения найдем, на каком квантовом уровне будет находиться микрочастица. Вычисление дает Отсюда следуют два вывода. Во-первых, кривая будет иметь столь огромное число чередующихся максимумов и минимумов, что мы не сильно погрешим против истины, если скажем: вероятность пребывания частицы одинакова для всех точек ящика. Во-вторых, мы видим, что соседние уровни энергии будут очень близки.

Обе особенности, следующие из основного уравнения квантовой механики, стираются: распределение вероятностей для частицы становится практически неотличимым от огибающей кривой, энергетические уровни сближаются настолько, что дискретность энергии становится практически незаметной. Результаты квантовой механики начинают совпадать с результатами механики больших частиц. Это происходит всегда, когда энергия частицы соответствует большому квантовому числу. Мы пришли к важному принципу квантовой механики: при больших квантовых числах результаты квантовой механики совпадают с механикой «обычных» частиц. Это значит, что при больших понятие траектории частицы и другие особенности, свойственные обычной частице, применимы и к микрочастице.

1
Оглавление
email@scask.ru