§ 25. Частные случаи колебаний

Соответственно с тем, что мы оперируем в механике с двумя видами потенциальной энергии — упругой и тяготения, и механические колебания тел можно разбить эти два случая.

Тела, колеблющиеся под действием сил упругости, наиболее часто совершают линейные колебания сжатия и растяжения; распространены и крутильные колебания.

Если тело, подвешенное на резиновом шнуре, пружине или проволоке, будет смещено от положения равновесия в направлении шнура, оси пружины или проволоки, то возникнут линейные колебания под действием возвращающей силы упругости. Коэффициент есть в этом случае жесткость колеблющегося тела.

В какой мере этот коэффициент определяет возникающий период и частоту колебания, видно из следующего примера. Одинаковые грузы с массой подвешены к трем пружинам различной жесткости. Под действием этих нагрузок пружины растянуты соответственно на см и Тогда коэффициенты жесткости будут соответственно иметь значения:

Периоды и частоты колебаний этих маятников будут

В крутильных колебаниях возвращение к равновесию происходит под действием крутильного момента, который при малых отклонениях от равновесия прямо пропорционален угловому смещению. Если, скажем, на проволоке висит массивная шайба с моментом инерции I и проволока закручена на какой-то угол, то уравнение крутильных колебаний шайбы будет выглядеть так:

Роль коэффициента возвращающей силы здесь играет вращательный момент, отнесенный к единице углового смещения, роль массы

играет момент инерции. Значит, период свободных крутильных колебаний представится формулой

Чем больше момент инерции, тем меньше частота колебаний.

Пример. Пусть диск с массой и радиусом 5 см подвешен к стальной нити и совершает крутильные колебания с периодом с. Момент инерции диска Тогда коэффициент возвращающей силы . Если к той же нити подвесить диск прежней массы, но радиуса 1 см, то период крутильных колебаний будет уже не 1 с, а

Тела, колеблкхциеся под действием сил тяготения, — это маятники. Если маятник можно примерно представить как материальную точку, подвешенную к невесомой нити, то говорят о математическом маятнике (рис. 38).

Из рисунка мы легко найдем выражение возвращающей силы это составляющая веса по направлению касательной к, траектории. Если отклонения от равновесия малы, то синус угла можно заменить на значение угла далее, заменить его на частное от деления смещения на длину нити В этом приближении смещения по хорде и дуге совпадают по величине. Таким образом, возвращающая сила равна а ее коэффициент равен В выражении для периода колебаний сокращается масса колеблющейся точки

Рис. 38.

Независимость периода колебаний маятника от массы является примером общей особенности движения материальных точек в поле тяготения. Действительно, сила, действующая на такую материальную точку по закону тяготения, будет пропорциональна массе, поэтому в уравнении движения масса сократится. Итак, мы пришли к известному выводу, заключающемуся в- том, что в данном месте поля тяготения период колебаний математического маятника будёт зависеть только от его длины.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения фигуры Земли и гравиметрическая разведка (небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опьгга изменения значений могут произойти благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород).

Рис. 39.

Если речь идет о малых колебаниях физического тела, которое никак нельзя приближенно заменить точкой, то говорят о физическом маятнике. На рис. 39 показано твердое тело; ось вращения (колебания) проходит через него. Период колебаний физического маятника вычисляется по той же формуле, что и период крутильных колебаний:

поскольку уравнение

справедливо для любых движений тела, поворачивающегося около оси. Однако в случае поля тяготения мы легко можем выразить вращательный момент, отаееенный к единице углового смещения, через более непосредственные характеристики маятника. Из того же рисунка видно, что вращательный момент равен произведению веса тела на расстояние от центра тяжести до точки подвеса и на синус угла отклонения от положения равновесия Считая, как все время в этом разделе, отклонения от положения равновесия небольшими, получим для вращательного момента выражение откуда Таким образом, период колебаний физического маятника дается выражением

Величину называют приведенной длиной физического маятника. Такую длину имел бы математический маятник с тем же периодом колебания.