§ 43. Собственные колебания двумерных и трехмерных систем

В стержнях, струнах, воздушных столбах поверхности равной фазы представляют собой параллельные плоскости. Колебательное состояние можно представить себе как результат наложения плоских волн, распространяющихся вдоль одной линии. Однако возможны и более сложные случаи, а именно такие, когда колебательным движением захвачена двумерная область (пластинка, мембрана) или тело, все три размера которого имеют одинаковый порядок величины.

С двумерными задачами мы сталкиваемся, рассматривая колебания упругих и жестких диафрагм. Колебания разного типа возникнут, если в одном случае закрепить пластинку по краям, а в другом — укрепить ее в одной точке или даже не закреплять вовсе. Кроме колебаний жестких пластинок наблюдают колебания натянутых нежестких пленок — резиновых, мыльных и пр.

Общие закономерности свободных колебаний в этом случае в принципе не отличаются от рассмотренных. Ввиду двумерности задачи узлы и пучности должны характеризоваться теперь кривыми линиями. Например, круглая закрепленная по краям пластинка совершает основное колебание, имея единственную пучность в центре круга. Центральная точка колеблется с максимальной амплитудой, а далее амплитуда спадает к закрепленным краям (к узловой окружности) с сохранением круговой симметрии. Так выглядит простейшее колебание основной (самой низкой) частоты. Мембрана может быть возбуждена и в более высоких гармониках, тогда поверхность ее разбивается на участки узловыми линиями. Оказывается, что узловые линии у круглых пластинок могут иметь форму либо окружностей, либо диаметров, проходящих через центр.

Эффектным и простым опытом является демонстрация узловых линий способом Хладни (по имени ученого, предложившего этот способ). Пластинку посыпают песком, а затем ударом или смычком приводят в колебательное состояние. Песок скатывается с пучностей и собирается на узловых линиях. На рис. 65 показано несколько примеров фигур Хладни.

Естественно, наиболее сложным является колебательное состояние сплошного трехмерного тела. Отказываясь от рассмотрения явления в теле сложной формы, мы ограничим себя изучением

собственных колебаний прямоугольного параллелепипеда. Если бы в таком теле существовали только стоячие волны, возникшие благодаря сложению волн, бегущих параллельно ребру параллелепипеда, то собственные частоты колебаний ограничивались бы значениями

а волновые числа (так называют величины, обратные длине волны) будут равны

где любые целые числа, длины ребер параллелепипеда.

Рис. 65.

Однако в теле могут распространяться волны, идущие под произвольным углом к границам. Стоячие волны образуются в том случае, если после ряда отражений луч придет в ту же точку, из которой он вышел. Волновое число такого луча должно вычисляться из по правилу сложения векторов. Таким образом,

Ясно, что частоты колебаний для простейших случаев распространения волн параллельно ребрам тела также получатся из этой формулы, если положить отличным от нуля лишь одно из трех целых чисел, входящих в формулу.

Спектр колебания трехмерного тела изображается в трехмерном пространстве (рис. 66), которое можно назвать пространством частот, или обратным пространством. Если величины откладывать соответственно по трем осям, то возникнет решетка, (обратная решетка), каждый узел которой представляет одну из собственных частот колебания тела за номерами Радиус-вектор обратного пространства, проведенный в узел решетки, равняется

возможной частоте колебния. Если провести сферу радиусом то в нее попадут все точки, изображающие частоты, меньшие Объем такой сферы равен объем каждой ячейки обратной решетки равен где объем тела.

Рис. 66.

Следовательно, число собственных колебаний тела с частотами, меньшими (число узлов в октанте сферы), выражается формулой

Эта интересная закономерность показывает, что число собственных частот резко возрастает, если мы начнем увеличивать интервал частот, подлежащий рассмотрению. При больших частотах дискретный характер спектра начинает смазываться, частоты становятся весьма близкими друг к другу.