§ 16. Соударения

Слово «соударение» надо понимать в несколько более широком смысле, чем это принято в житейской практике. Для механических задач, которые нас серчас интересуют, к соударениям относятся любые встречи двух или более тел, при которых взаимодействие длится короткий срок. Таким образом, кроме явлений, которые можно отнести к соударениям во всех смыслах этого слова, — удара биллиардных шаров, столкновений атомов или атомных ядер, — сюда можно отнести и такие события, как прыжок человека с трамвая или на трамвай или попадание пули в стенку. При таких коротких взаимодействиях возникают столь большие силы, что роль всех постоянно действующих сил можно считать ничтожной. Это дает нам право рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ним закон сохранения импульса.

Рис. 20.

Во многих соударениях длительность взаимодействия измеряется тысячными долями секунды. За это время сила доходит до своего максимального значения, затем падает до нуля. Типичная кривая силы при ударе показана на рис. 20. В каждое мгновение удара соотношение между силой, действующей на любое из тел, и импульсом этого тела дается вторым законом Ньютона:

Переписывая его в виде мы можем сказать, что произведение среднего значения силы на время ее действия должно равняться изменению импульса. Более точное утверждение мы получим, проинтегрировав написанное уравнение от начального времени удара до окончания взаимодействия. Очевидно,

Интеграл в левой части называют иногда импульсом силы. Геометрический смысл этой величины на графике — площадь под кривой удара (см. рис. 20).

В зависимости от упругих свойств тел соударения могут протекать весьма различно. Принято выделять два крайних случая: идеально упругий и абсолютно неупругий удары.

Остановимся сначала на втором из них. Под неупругим ударом понимают такую встречу двух тел, в результате которой эти тела объединяются. К неупругим ударам относятся столкновение глиняных шаров, прыжок человека на движущуюся вагонетку, столкновение двух разноименных ионов с образованием молекулы, захват электрона положительным ионом и т. д.

Пусть до встречи тела двигались со скоростями и суммарный импульс равнялся После встречи тела имеют общую массу, равную и движутся с какой-то скоростью К. Импульс системы после встречи равен Закон сохранения импульса требует равенства

откуда скорость тел после неупругого удара представится формулой

Вектор имйульса после встречи тел должен равняться сумме векторов импульса тел до удара.

Если встречное движение происходит вдоль одной прямой, то после удара тела будут двигаться в том направлении, куда ранее шло тело с большим импульсом. Если импульсы тел равняются по величине, то значит, V равно нулю — столкнувшиеся тела остановятся.

Неупругий удар сопровождается энергетическим превращением. Из только что приведенного примера видно, что кинетическая энергия может даже обратиться в нуль. Нетрудно подсчитать величину, на которую возрастает внутренняя энергия встретившихся тел в том или ином случае; для этого лишь надо составить разность

Рассмотрим теперь идеально упругие столкновения, т. е. такие, при которых тела полностью восстанавливают свою форму. Это значит, что в состоянии этих тел не происходят какие-либо изменения, их потенциальная и внутренняя энергия до и после удара неизменна и, следовательно, кинетическая энергия должна сохраняться. Для двух тел, соударяющихся таким образом, можно составить два уравнения: закон охранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим массы тел через и Всегда можцо выбрать начало координат совпадающим с одним из тел. Это упрощает задачу, нисколько не уменьшая общности

рассмотрения. Мы положим поэтому тело с массой покоящимся до удара. Указанные два закона сохранения дадут тогда такие равенства:

здесь и скорости шара до и после удара, V — скорость шара после удара.

Рассмотрим несколько примеров применения этих уравнений. Прежде всего, изучим нецентральное соударение двух шаров равной массы (рис. 21). Тогда массы сокращаются в обоих уравнениях и мы получим

Из векторного равенства ясно, что вектор и является замыкающей треугольника, построенного на векторах и Из правого уравнения следует, что треугольник, в котором и — гипотенуза, должен быть прямоугольным; отсюда следует, что скорости после столкновения двух частиц равной массы должны быть направлены под прямым углом друг к другу. Этот интересный вывод легко проследить для биллиардной игры: направления движений шара, который подвергся удару, и «своего» шара образуют угол в 90°. В остальном характер изменения вектора скорости не определяется нашими уравнениями, в которых не учитывается отклонение линии удара от линии, проходящей через центры шаров.

Рис. 21.

Полные сведения о движении шаров после удара мы получим, если ограничим себя случаем центрального удара. Движение столкнувшихся шаров будет тогда и после удара происходить вдоль той же прямой. Поэтому можно не пользоваться векторными символами, помня, однако, что изменение знака скорости будет означать изменение направления движения. В этом случае нам нет зато нужды рассматривать упрощенный случай равных масс. Уравнения центрального соударения имеют вид

Преобразовывая эти уравнения к виду

и деля их друг на друга, найдем: или Мы замечаем, что относительная скорость движения шара по

отношению к шару до удара (мы ее обозначили через ) равна с обратным знаком той же относительной скорости после удара.

Интересная формула возникает при подстановке в формулу закона сохранения импульса. Находим выражение скорости шара после удара через скорость этого же шара до удара:

Рис. 22.

Если массы шаров равны, то скорость обращается в нуль. Это явление можно очень эффектно демонстрировать на стальных или костяных шариках. Шары как бы обмениваются скоростями при таком ударе (рис. 22). В остальных случаях шар замедляется. Чем ближе массы соударяющихся шаров, тем эффектнее замедление. Нетрудно прикинуть, что нейтрон (масса 1) отскочит от ядра атома углерода (масса 12), потеряв своей скорости, а от ядра атома урана (масса 235) — потеряв всего лишь 2/23в своей скорости.

Рис. 23.

Для макроскопических тел законы упругого удара неплохо выполняются для таких материалов как слоновая кость, сталь, резина и т. д. Эти материалы обладают способностью превосходно восстанавливать свою форму, что видно из интересной фотографии, приводимой на рис. 23, где при помощи так называемой «лупы времени» снят момент удара хоккейного мяча о препятствие. За секунды мяч сжимается почти на один сантиметр, такое же время затрачивается на восстановительную фазу удара. В первой фазе кинетическая энергия удара превращается в потенциальную энергию упругого сжатия. Во второй фазе потенциальная энергия переходит в кинетическую. При идеально упругом ударе этот обратный переход должен был бы полностью восстановить значение кинетической энергии, затраченной в первой фазе удара.

Нашими формулами не охватывается важный случай упругого удара шара о стенку (рис. 24). Так как кинетическая энергия должна сохраняться, то скорость шара не может измениться по величине. Что же касается направления движения шара после удара, то оно должно образовывать тот же угол с нормалью, что и вектор скорости до удара. Действительно, в случае удара о гладкую

стенку тангенциальная (касательная) составляющая скорости остается неизменной, так как отсутствуют тангенциальные силы сцепления со стенкой. Как видно из рисунка, приращение импульса численно равно и направлено вдоль нормали к стенке. Согласно основному закону механики, в момент удара сила, действующая на шар со стороны стенки, должна быть направлена туда же, куда направлен вектор изменения импульса. Поэтому-то и угол падения шара равен углу отражения.

Рис. 24.

Рассмотрим неупругий удар на примере баллистического маятника (прибор для измерения скорости пули). Ящик с песком массой подвешен на тросе. Пуля влетает в ящик и застревает в песке. Импульс пули до удара та, импульс системы после удара Имеем

Приобретя кинетическую энергию ящик израсходует ее, поднявшись на высоту удовлетворяющую условию

Пусть тогда см.

Если бы мы не пользовались законом сохранения импульса, а определили бы основываясь на полном переходе кинетической энергии пули в потенциальную энергию маятника, то получили бы Это означает, что в нашем примере механической энергии (99,9% общего запаса) «исчезло» (пошло на нагревание системы). Так как абсолютно упругих тел не существует, то при каждом «упругом» ударе механическая энергия не сохраняется, часть ее переходит в энергию теплового движения молекул и рассеивается. Мы еще вернемся к этому в гл. 11 (стр. 159).

Теперь на примере соударений мы проиллюстрируем достоинства системы координат, связанной с центром инерции.

Пусть на шарик с массой покоящийся в лабораторной системе координат, налетает другой такой же шарик со скоростью Если удар неупругий, то какая-то часть кинетической энергии системы перейдет в тепло. В иных системах координат кинетическая энергия этой пары шариков выразится другими числами. Что же касается выделяемого тепла, то оно будет одним и тем же для данной пары шариков и будет определяться скоростью их относительного движения. Поэтому, вместо того чтобы с помощью закона сохранения импульса искать переходящую в тепло долю кинетической энергии, вычисленной для лабораторной системы координат, достаточно рассчитать кинетическую энергию для системы, связанной с центром инерции. Так как в этой системе координат суммарный импульс тел равен нулю, то после неупругого соударения шары останавливаются: вся кинетическая энергия переходит в тепло. Кинетическая энергия для системы, связанной с центром инерции, будет иметь минимальное значение.

В системе координат, связанной с центром инерции, шары движутся навстречу друг другу со скоростями Кинетическая энергия каждого шарика равна а полная энергия системы

Таково будет количество тепла, выделяемое при неупругом соударении. Какой бы ни был удар, выделение тепла (или другой формы энергии) за счет кинетической энергии тел может произойти в количестве, не превышающем кинетическую энергию, подсчитанную для системы, связанной с центром инерции. И наоборот, для выделения заданного количества тепла нужно эквивалентное количество кинетической энергии, подсчитанное для системы центра инерции.

Пример. Ядерная реакция бомбардировки азота -частицами протекает согласно уравнению

и идет с поглощением энергии Какой кинетической энергией в лабораторной системе координат должна обладать -частица, чтобы реакция пошла? На первый взгляд кажется, что для этого достаточно энергии Номы знаем, что это не так. В системе координат, связанной с центром инерции, нужна энергия однако в лабораторной системе координат нужна большая энергия.

Действительно, скорость центра инерции где импульс первой частицы, второй. Скорость первой частицы в системе координат центра инерции

Отсюда кинетическая энергия системы в системе координат центра инерции будет

— так называемая приведенная масса обеих частиц. Будем считать ядра неподвижными Это предположение справедливо, так как всегда можно пренебречь медленным тепловым движением ядер-мишеней по сравнению с огромными скоростями налетающих частиц. Тогда кинетическая энергия в лабораторной системе координат следовательно,

Реакция идет, если Учитывая, что получим