§ 96. Ограниченные диэлектрические тела в электрическом поле

В отношении ограниченного непроводящего тела, внесенного в электрическое поле, могут возникнуть следующие вопросы. Какие силы и моменты сил действуют на это тело? Как искажается поле при внесении в него диэлектрика?

Внесенное в поле диэлектрическое тело поляризуется и приобретает некоторый дипольный момент. Поэтому поведение такого тела в электрическом поле, вообще говоря, не отличается от поведения диполя. Если вектор поляризации направлен под углом к напряженности поля, то такое положение диэлектрика будет неустойчивым. На тело будет действовать момент сил, стремящийся повернуть тело так, чтобы векторы стали параллельными.

Это приводит к тому, что диэлектрическое тело, внесенное в данное однородное электрическое поле, устанавливается в определенном положении равновесия, зависящем от формы тела. Рассмотрим это на примере диэлектрического стерженька.

Рис. 102.

Мы убедимся на опыте, что положением равновесия является такое, при котором длинная ось совпадает с силовой линией. Почему так происходит? Ведь у стерженька отсутствуют фиксированные полюсы. Причину такого своеобразного поведения разъясняет рис. 102. В изображенном прямоугольном сечении стержня можно свести действующие на связанные заряды силы к четырем силам, приложенным к четырем поверхностям прямоугольного стержня. Мы видим, что силы, действующие на большие грани стержня, почти уравновешиваются, а силы, действующие на малые грани, образуют пару сил, переводящую стержень в положение вдоль силовых линий.

Если тело находится в неоднородном поле, то, кроме момента сил, на него будут действовать и силы, втягивающие диэлектрик в область более сильного поля. Это явление можно с успехом демонстрировать на диэлектрических жидкостях, заставляя жидкость в трубочке подниматься при наложении напряжения на конденсатор. Силы этого же типа, т. е. действующие на диполи в неоднородном поле, заставляют бумажки лепиться к стеклянной или эбонитовой палочке, натертой мехом или кожей.

Перейдем теперь к вопросу об искажении электрического поля при внесении в него диэлектрического тела. Прежде всего, покажем, что общие законы электрического поля приводят к важным соотношениям, связывающим значения электрических полей по одну и другую сторону границы диэлектриков.

Векторы напряженности электрического поля в двух соседних точках, находящихся по разные стороны границы диэлектриков с проницаемостями должны отличаться друг от друга как по величине, так и по направлению. Разложим эти векторы на составляющие вдоль границы и по нормали к ней. Мы можем утверждать, что поле, направленное вдоль границы, должно быть

одинаковым с обеих сторон ее. Предположим, что это утверждение было бы неверным и с одной стороны поле больше, чем с другой. Тогда можно было бы создать вечный двигатель, перенося вдоль границы заряда против поля там, где поле меньше, а затем предоставив заряду двигаться с другой стороны границы (где поле больше) под действием сил электрического поля. Поэтому тангенциальные составляющие напряженности с обеих сторон поверхности раздела должны быть равными,

Для рассмотрения нормальных составляющих на границе двух сред применим закон Гаусса — Остроградского. Построим вспомогательную поверхность в виде бесконечно низкого цилиндра, одно основание которого лежит по одну сторону границы, а другое основание находится во второй среде. Заряда внутри такого цилиндра нет. Поэтому суммарный поток индукции через цилиндр должен равняться нулю, а, значит, потоки через оба основания должны быть одинаковы. Это может быть лишь в том случае, если нормальные составляющие векторов индукции будут равны друг другу: Отсюда для напряженностей полей имеем

Рис. 103.

Таким образом, отношение нормальных составляющих векторов напряженности обратно пропорционально диэлектрическим проницаемостям.

Из рис. 103 видно, что при переходе из среды с меньшей диэлектрической проницаемостью в тело с большей силовые линии отклоняются от нормали к границе. Это значит — число силовых линий, проходящих через единицу площади, растет.

Задачу об искажении электрического поля при внесении в него диэлектрика определенной формы мы не сумеем решить. Эта задача сложна даже и в том случае, если поле до внесения в него диэлектрика было однородным. Если тело имеет произвольную форму, то, будучи помещено в однородное поле, оно сделает его неоднородным не только вблизи себя, но и внутри себя.

Интересным исключением являются эллипсоиды. Это — широкий класс тел, так как сюда относятся шары, сплюснутые эллипсоиды, которые практически не отличимы от пластинок, и вытянутые

эллипсоиды, которые близки к цилиндрическим телам. Методами математической физики показывается, что поле внутри эллипсоида будет однородным, как это показано на рис. 104. Закон преломления силовых линий приводит нас к типичным картинам для более плотных тел в менее плотной среде и для обратного случая например воздушное включение в стекле или стеклянный эллипсоид в воздухе.

Рис. 104.

Можно показать, что однородное поле в вакууме, в которое - мы внесли симметричное диэлектрическое тело, связано с полем Ей установившимся внутри диэлектрика, соотношением

где вектор поляризации, коэффициент, зависящий только от формы тела. При описании магнитных явлений его принято называть коэффициентом размагничения (см. стр. 263).

Так как в большинстве случаев после несложных преобразований приходим к следующему выражению:

Диэлектрическая проницаемость всегда больше единицы. Поэтому напряженность поля внутри диэлектрика всегда меньше той напряженности поля, которая была в этом месте до его внесения.

Коэффициент для плоской пластинки, перпендикулярной к полю, равен Это — максимальное значение убывание поля в раз, возникающее в этом случае, приводит нас к уже обсуждавшемуся ранее результату для однородной среды. Другой крайний случай — это цилиндр, направленный вдоль поля. Для него поле не ослабляется таким телом. Во всех же остальных случаях ослабление поля уже будет зависеть от диэлектрической пррницаемости. Для шара следовательно, Для цилиндра, расположенного под прямым углом к полю,

Причина ослабления поля состоит в создании связанными зарядами поля обратного направления. Что же касается поля вектора индукции, то на него связанные заряды влияют лишь косвенно. Действительно, число линий остается неизменным при внесении диэлектрика в поле. Однако благодаря преломлению линий индукция внутри диэлектрика возрастает.