§ 128. Распространение световых волн в среде с градиентом показателя преломления

Различие в плотности влечет за собой, как правило, различие в показателях преломления. Возникает естественный вопрос о характере распространения волны в такой среде, где значения коэффициента преломления меняются от точки к точке (т. е. градиент показателя преломления отличен от нуля).

Различие в показателях преломления означает разницу в скоростях продвижения фронта волны. Отсюда следует, что фронт волны по мере продвижения в такой среде будет непрерывно деформироваться. Если мы построим нормали к фронту волны, то получим кривую линию. Можно сказать, что свет распространяется в неоднородной среде не по прямым, а по кривым линиям.

Мы уже обсуждали в свое время аналогичную проблему для звуковых волн (стр. 129). Закономерности здесь те же самые и ход лучей управляется тем же принципом Ферма. При распространении в неограниченной среде с градиентом показателя преломления луч света будет распространяться так, чтобы пройти расстояние между двумя точками за минимальное время. Поэтому луч света будет загибаться так, чтобы сократить свой путь в участках пространства, где показатель преломления велик, и, наоборот, будет «стараться» проделать как можно большую часть пути в областях пространства с малым показателем преломления.

Наиболее известным примером распространения света в среде с градиентом является прохождение светового луча через земную атмосферу. Плотность и показатель преломления воздуха падают с эысотой. Это приводит к явлению астрономической рефракции: луч, идущий от какой-либо звезды к Земле и входящий в атмосферу не по радиусу, а под углом, будет изгибаться и видимое положение звезды будет смещено по отношению к ее истинному положению.

Для звезд, расположенных у горизонта, угол смещения достигает огромной для астрономии величины в градуса.

Наличие градиента показателя преломления у атмосферы приводит к возникновению миражей. Миражи наблюдаются в африканских пустынях по той причине, что над раскаленным песком могут легко возникнуть тепловые потоки, приводящие к температурным перепадам, следовательно, к градиенту плотности, а значит, и показателя преломления. В результате луч света идет по кривой линии и возникает картина пейзажа в том же месте, куда его мысленно помещает зритель, привыкший к прямолинейному распространению света.

Разумеется, нельзя говорить о сферической или плоской волнах, когда речь идет о распространении света в неоднородной среде. Следует напомнить, что переменная скорость распространения означает, что длина волны также меняется от точки к точке. Какое же уравнение описывает движение волны в среде, где показатель преломления меняется от точки к точке? Имея в виду изменение параметров волны от точки к точке, мы должны поискать дифференциальное уравнение, описывающее это явление, поскольку лишь дифференциальное уравнение устанавливает закон, связывающий физические величины для данной точки пространства.

Это уравнение можно найти с помощью уравнений Максвелла. Вывод несколько сложен, и мы не сможем его провести. Результат вычислений таков: как для вектора (или его проекции), так и для вектора (или его проекции) справедлив следующий закон:

Функцию называют волновой функцией. Она представляет вектор или или их составляющие, поскольку для них всех уравнения одинаковы, координата в направлении распространения волны, время, скорость распространения.

Написанное уравнение называется волновым, и справедливо для точек пространства, лежащих вне источников поля (т. е. вне заряженных областей и вне областей, по которым текут электрические токи).

Покажем, прежде всего, что написайному дифференциальному уравнению удовлетворяет простейший волновой процесс — плоская волна. Как нам известно (стр. 99), выражение плоской волны с частотой распространяющейся вдоль направления имеет вид

Вычислим вторые производные волновой функции по времени и по координате. Получим

Мы видим, что между вторыми производными имеется нужная связь:

значит предложенное дифференциальное уравнение содержит в себе уравнение плоской волны. Однако написанное дифференциальное уравнение много шире. Его решением является любая функция аргумента так как для любой функции выражения производных через будут те же самые.

Зависимость функции от аргумента рассматривается как единственный признак волнового процесса. Смысл этого аргумента заключается в следующем: если состояние в точке характеризуется в момент времени некоторым значением волновой функции, то такое же состояние имеет место в точке через момент времени в точке через момент времени и т. д.

При этом есть координата, отсчитываемая вдоль любого прямого или криволинейного пути.

Дифференциальное уравнение

является общим уравнением волнового процесса, справедливым для любой среды, в том числе и неоднородной, в которой меняется от точки к точке.

Если волновая функция должна быть выражена через три координаты пространства то обобщением волнового уравнения является следующая формула:

Для суммы вторых частных производных какой-либо функции существует краткое обозначение: (читается: лапласиан Итак,

Дифференциальное уравнение волны справедливо для произвольного процесса, в котором значения длины волны и амплитуды волны меняются от точки к точке.

Обозначим через амплитуду волновой функции Именно представляет интерес для большинства задач. Если в пространстве существует колебательный процесс с частотой то

в самом произвольном случае. Следовательно, волновая функция будет всегда удовлетворять уравнению

Часть выражения для зависящая от времени, всегда сократится в подобном равенстве, поэтому последнее уравнение есть уравнение для амплитуды волны При помощи соотношения его можно также записать в виде

Иногда и это уравнение называют волновым.