Предисловие ко второму изданию

Это издание полностью набрано заново в а многие рисунки переделаны при помощи пакета PSTricks, чтобы улучшить точность и облегчить внесение поправок в будущем. В процессе этого сделаны несколько существенных дополнений.

• Здесь три новые главы: о теории чисел в Китае и Индии, о гиперкомплексных числах и об алгебраической теории чисел. Они заполнили некоторые пробелы в первом издании и позволяют глубже понять последующие разработки.

• Здесь гораздо больше упражнений. Это, я надеюсь, исправляет недостаток первого издания, в котором слишком мало упражнений, и некоторые из них слишком сложные. Некоторые чудовищные упражнения из первого издания, такие как упражнение в разделе 2.2 по сравнению объема и площади поверхности икосаэдра и додекаэдра, теперь разбиты на выполнимые части. Тем не менее, здесь все же присутствуют несколько стимулирующих вопросов для тех, кому они нужны.

• В упражнения добавлены комментарии, чтобы объяснить, каким образом они соотносятся с предыдущим разделом, а также (когда уместно) каким образом они предваряют последующие темы.

• В предметный указатель добавлен дополнительный уровень для облегчения поиска. Для того чтобы найти работу Эйлера о последней теореме Ферма, например, не нужно больше просматривать 41 разную страницу, указанную в пункте «Эйлер». Вместо этого, в предметном указателе можно найти запись «Эйлер и последняя теорема Ферма».

• Переделана библиография, где приведены более полные выходные данные многих работ, которые ранее были внесены в список

с краткими или вовсе отсутствующими данными. Я нашел полезным онлайновый каталог библиотеки Бернди Дибнерского института в MIT при поиске этой информации, особенно для ранних печатных работ. Для новых работ я широко использовал MathSciNet, онлайновую версию версию Mathematical Reviews.

Есть также множество небольших изменений, некоторые из них подсказаны недавними математическими событиями, такими как доказательство последней теоремы Ферма. (К счастью, оно не вызвало значительной переделки текста, потому что история вопроса теории эллиптических кривых охвачена в первом издании.)

Я благодарен многим друзьям, коллегам и рецензентам, которые привлекли мое внимание к недостаткам первого издания и помогли мне в процессе их исправления. Особая благодарность следующим людям.

• Моим сыновьям, Майклу и Роберту, которые выполнили большую часть набора, и моей жене, Илейн, которая много читала корректуру.

• Моим студентам в Math 310 в университете Сан-Франциско, которые пробовали решать многие из упражнений, и Тристану Нидхаму, который сперва пригласил меня в университет Сан-Франциско.

• Марку Арону, Дэвиду Коксу, Дуане еТемпл, Весу Хьюзу, Кристине Малдун, Мартину Малдуну и Эйбу Шеницеру за исправления и предложения.

Джон Стиллуэлл Монашский Университет, Виктория, Австралия 2001

Предисловие к первому изданию

Одно из разочарований, которые испытывает большинство студентов, изучающих математику, заключается в том, что им никогда не читают курс по математике. Им читают курсы по исчислению, алгебре, топологии и т. д., но разделение труда в обучении, видимо, препятствует тому, чтобы эти темы объединить в единое целое. Действительно, некоторые наиболее важные и естественные вопросы не освящаются, потому что они попадают на ошибочную сторону ограничительных линий темы. Например, алгебраисты не обсуждают основную теорему алгебры, потому что «это анализ», а аналитики не обсуждают римановы поверхности, потому что «это топология». Тагам образом, если студенты хотят чувствовать, что они действительно знают математику к тому времени, когда они оканчивают учебное заведение, необходимо объединить предмет.

Цель этой книги заключается в том, чтобы дать единый взгляд на студенческую математику, подойдя к предмету с точки зрения его истории. Поскольку читатели должны иметь некоторый математический опыт, принимаются некоторые основы, и математика не излагается формально, как в стандартном тексте. С другой стороны, мы придерживаемся математики более тщательно, чем в большинстве общих историй математики, потому что математика — наша основная цель, а история лишь средство приближения к ней. Предполагается, что читатели знают основы исчисления, алгебры и геометрии, чтобы понять язык теории множеств, и знакомы с некоторыми более современными темами, такими как теория групп, топология и дифференциальные уравнения. Я пытался отобрать доминирующие темы этой области математики, и сплести их воедино настолько крепко, насколько возможно, проследив их историческое развитие.

Поступая так, я также пытался соединить некоторые традиционные свободные концы. Например, студенты могут решать квадратные уравнения. Почему не кубические? Они могут интегрировать но им говорят не мучиться с Почему? Неотступное следование истории этих вопросов оказывается очень продуктивным, ведущим к более глубокому пониманию комплексного анализа

и алгебраической геометрии, между прочим. Таким образом, я надеюсь, что эта книга будет не только общей перспективой студенческой математики, но также некоторым представлением более широких горизонтов.

Некоторые историки математики могут не одобрить мое анахроническое использование современной системы обозначений и (довольно) современных интерпретаций классической математики. Это несет определенный риск, такой, как сделать так, чтобы математика выглядела проще, чем она действительно была в свое время, но по моему мнению, риск сделать неясными идеи, выраженные громоздким, незнакомым обозначением, больше. В самом деле, практически это трюизм, что математические идеи обычно возникают прежде, чем появляется обозначение или язык для их ясного выражения, и что идеи неявны, прежде, чем они становятся явными. Таким образом, историк, который, предположительно, пытается быть и ясным, и явным, часто не имеет выбора, кроме как быть анахроническим, прослеживая истоки идей.

Математики могут не одобрить моего выбора тем, поскольку книга такого размера неизбежно будет неполной. Я предпочел темы с элементарными корнями и крепкими взаимосвязями. Основные темы — это понятия числа и пространства: их начальное разделение в греческой математике, их объединение в геометрии Ферма и Декарта и плоды их объединения в исчислении и аналитической геометрии. Некоторые важные темы сегодняшнего дня, такие как группы Ли и функциональный анализ, опущены по причине их сравнительной удаленности от элементарных корней. Другие, такие как теория вероятностей, упомянуты лишь кратко, так как большая часть их развития, по-видимому, происходила за пределами основного потока. Что касается каких-либо других упущений или пренебрежений, то я могу лишь сослаться на личный вкус и желание сохранить книгу в границах курса, рассчитанного на один или два семестра.

Эта книга выросла из записей для курса, прочитанного студентам старших курсов Монашского университета в течение последних нескольких лет. Курс читался половину семестра и охватывал чуть больше половины книги (главы 1-11 один год и главы 5-15 второй год). Естественно, я буду рад, если другие университеты решат основать курс по книге. В ней множество возможностей для разработки специального курса посредством варьирования обсуждаемых периодов или тем. Однако, эта книга в равной степени должна также послужить

в качестве общего чтения для студента или профессионального математика.

В конце каждой главы вставлены биографические заметки, частично с целью добавить человеческий интерес, но также, чтобы помочь проследить передачу идей от одного математика к другому. Эти заметки извлечены, главным образом, из вторичных источников; кроме явно указанных источников обычно использовался Словарь научной биографии (СНБ). Я следовал практике СНБ, описывая мать человека под ее девичьей фамилией. Ссылки приведены в виде: имя (год), например, Ньютон (1687) относится к Principia, а все источники собраны в конце книги.

Рукопись внимательно и критично прочитали Джон Кроссли, Джереми Грей, Джордж Одифредци и Эйб Шеницер. Их замечания вылились в многочисленные улучшения, а какие-либо оставшиеся недостатки, возможно, вызваны моей неспособностью последовать всем их советам. Им, а также Ан-Мари Ванденберг за ее обычную, блестящую перепечатку, я выражаю мою искреннюю благодарность.

Джон Стиллуэлл Монашский Университет, Виктория, Австралия 1989