10.68. Дзета-функция
Цель производящей функции — зашифровать сложную последовательность с помощью функции (действительной или комплексной переменной), которая в некоторых отношениях проще. Метод кодирования не обязательно должен быть тагам прямым, чтобы взять 
член последовательности в качестве коэффициента 
Например, известная формула произведения Эйлера (1748а), с. 288, кодирует последовательность 
простых чисел так следующую сумму степеней 
(дзета функция). Формула Эйлера имеет вид
Множители в левой части: 
где 
простое число. Мы разлагаем каждый такой множитель как геометрический ряд
Перемножая все эти ряды вместе, мы получаем обратную величину каждого возможного произведения простых чисел, до 
степени, точно один раз. То есть, левая часть — это сумма
в которой каждое произведение 
простых чисел встречается только один раз. Но каждое натуральное число 2 выразимо как раз одним способом так произведение простых чисел (раздел 3.3), следовательно, последняя сумма равняется правой части формулы Эйлера
Первоначально, показатель 
был здесь только для того, чтобы обеспечить сходимость. В разделе 10.1 мы видели, что 
расходится, когда 
она сходится, когда 
Риман (1859) обнаружил, что 
становится более мощной, когда в качестве 
принимается комплексная переменная. В знак признания этого, 
часто называют дзета-функцией Римана. Результат Эйлера из раздела 10.4 можно иначе выразить так 
Значения 
также найдены Эйлером и оказались рациональными кратными 
соответственно. Значения 
не имеют известной зависимости от 
или других стандартных постоянных, хотя Апери (1981) показал, что 
иррациональна. Самая известная гипотеза 
и один из самых популярных результатов в математике сегодня, так называемая гипотеза Римана: 
только, когда 
Упражнения
(см. скан)
