Глава 6. Полиномиальные уравнения

6.32. Алгебра

Слово «алгебра» происходит от арабского слова al-jabr, означающего «восстановление». Оно пришло в математику из книги Al-jabr wal muqabala (Наука о восстановлении и противопоставлении) аль-Хорезми (830 г. н. э.), книги о решении уравнений. В этом контексте «восстановление» означало добавление равных членов к обеим сторонам и «противопоставление» означало установление равенства обеих сторон. В течение многих веков аль-джабр гораздо чаще означало вправление сломанных костей, и хирургическое значение сопровождало математическое, когда «аль-джабр» стало «алгеброй» в испанском, итальянском и английском языках. Даже сегодня, хирургическое значение включено в Оксфордский словарь английского языка (Oxford English dictionary). Собственное имя аль-Хорезми дало нам слово «алгоритм», поэтому его труд оказал продолжительное влияние на математику, несмотря на то, что его содержание было вполне элементарным.

Его алгебра не пошла дальше решения квадратных уравнений, которые уже понимали вавилоняне, представлял с геометрических позиций Евклид, и преобразовывал в формулу Брахмагупта (628 г.) (см. раздел 6.3). Труд Брахмагупты, высшая точка индийской математики к тому времени, был более прогрессивным, чем трактат аль-Хорезми в нескольких отношениях — система обозначений, принятие отрицательных чисел и трактовка диофантовых уравнений, — несмотря на то, что предшествовал трактату аль-Хорезми и, вероятно, был известен ему. Индийская математика распространилась в арабский мир с великим продвижением культуры халифами Багдада в восьмом веке, и арабские математики признавали индийское происхождение некоторых идей, например, десятичных цифр. Но тогда почему не труд Брахмагупты, а труд аль-Хорезми стал канонической «алгеброй»?

Возможно, это тот случай (как «уравнение Пелля», упомянем еще один уместный пример), где математический термин принят по

случайным причинам. Однако, возможно, созрело время для идеи о развитии алгебры, и простая алгебра аль-Хорезми служила этой цели лучше, чем алгебры его более утонченных предшественников. В индийской математике алгебра была неотделима от теории чисел и элементарной арифметики. В греческой математике алгебра скрывалась за геометрией. Другие возможные источники алгебры, Вавилон и Китай, были потеряны или отсечены от Запада, пока они слишком запоздали, чтобы иметь решающее влияние. Арабская математика развивалась в нужное время и в нужном месте, чтобы впитать как геометрию Запада, так и алгебру Востока, и признать алгебру отдельной областью со своими собственными методами. Понятие алгебры, которое возникло, — теория полиномиальных уравнений, — доказало свою ценность, продержавшись в течение 1000 лет. Только в девятнадцатом веке алгебра переросла рамки теории уравнений, и это было время, когда большинство областей математики выросли из своих установленных естественных областей.

Ранние алгебраические методы, по-видимому, лишь внешне отличались от геометрических методов, как мы увидим на примере квадратных уравнений в разделе 6.3. Алгебраические методы решения уравнений стали отличаться от геометрических, и превзошли их, только с появлением новых методов, связанных с операциями, и эффективной системы обозначений в шестнадцатом веке (раздел 6.5). Несмотря на это, алгебра не отделилась от геометрии, а фактически дала геометрии возвращение надежд, благодаря развитию аналитической геометрии Ферма и Декартом около 1630 года. Это воссоединение алгебры и геометрии на более высоком уровне обсуждается в главе 7. Оно привело к современной области алгебраической геометрии.

История алгебраической геометрии развертывается вместе с историей полиномиальных уравнений, сплетясь в ходе развития со многими другими математическими нитями. Мы изучим несколько решающих ранних событий в этой истории. Одно мы уже видели в диофантовых методах хорд и касательных при отыскании рациональных решений уравнений (раздел 3.5). Еще одним относящимся к делу событием, хотя фактически не связанным с западной математикой, был метод исключения, развитый китайскими математиками между первыми веками новой эры и средними веками. Поскольку этот метод предшествует какому-либо сравнимому методу на Западе, и касается уравнений низшей степени, логично обсудить его первым.