19.128. Группы многогранников
Прекрасную иллюстрацию теоремы Кэли, что всякая группа является группой подстановок, обеспечивают правильные многогранники, группы симметрии которых оказываются важными подгруппами 
Правильные многогранники также показывают нам более буквальное, геометрическое, значение «симметрии». Если мы представим многогранник 
занимающий область 
в пространстве, то симметрии 
можно рассматривать как различные пути подбора 
Всякая симметрия получена вращением из исходного положения, и произведение симметрий есть произведение вращений.
Мы начинаем с симметрий тетраэдра 
имеет четыре вершины, 
поэтому всякая симметрия 
определяется перестановкой четырех предметов 
Здесь 
симметрий, потому что 
можно поместить на любую из четырех вершин 
после чего для остающегося треугольника вершин 
остаются три выбора. Можно проверить (используя тот факт, что перестановка, которая оставляет один элемент неподвижным и вращает три других, — четная), что все симметрии 
четные перестановки 
Но подгруппа 
всех четных перестановок в 
имеет 
элементов по упражнениям в разделе 19.2, поэтому группа симметрии 
именно 
Полную группу подстановок 
можно реализовать симметриями куба. Четыре элемента куба, которые переставляются, — длинные диагонали 
(рисунок 19.2). Сначала следует проверить, что каждая перестановка диагоналей действительно реализуема. Во время выполнения этого станет очевидно, что положение диагоналей (имея в виду, что конечные точки можно поменять местами), действительно, определяет положение куба (упражнение 19.5.1). 
также группа симметрии октаэдра, вследствие двойственного отношения между кубом и октаэдром, которое видно на рисунке 19.3. Каждая симметрия куба, несомненно, является симметрией его двойственного октаэдра, и обратно.
Рисунок 19.2: Куб и его диагонали
Таким же образом, двойственное отношение между додекаэдром и икосаэдром (рисунок 19.3) показывает, что они имеют одинаковую группу симметрии. Этой группой оказывается 
подгруппа четных перестановок в 
Пять элементов додекаэдра, четные перестановки которых определяют эти симметрии, — это тетраэдры, образованные из множеств четырех диагоналей [см. рисунок 19.4, который взят из Коксетера и Мозера (1980), с. 35].
Рисунок 19.3: Двойственные многогранники
Рисунок 19.4: Тетраэдры в додекаэдре
Более подробную информацию о группах многогранников см. Клейн (1884). Эта книга связывает теорию уравнений с симметриями правильных многогранников и функциями комплексной переменной. Комплексная переменная появляется, когда правильные многогранники заменяются правильными мозаиками сферы 
и их симметрии дробно-линейными преобразованиями, как в разделе 18.6. Клейн (1876) показал, что, с тривиальными исключениями, все конечные группы дробно-линейных преобразований возникают из симметрий правильных многогранников этим способом.
Правильные многогранники также являются источником другого подхода к группам: представлению порождающими элементами и соотношениями. Гамильтон (1856) показал, что группа икосаэдра может порождаться тремя элементами 
в зависимости от отношений
Это означает, что каждый элемент группы икосаэдра является произведением (возможно, с повторениями) 
и, что любое соотношение между 
следует из отношений (1). Дик (1882) дал похожие представления групп куба и тетраэдра и для групп некоторых конечных мозаик, как часть первого общего обсуждения порождающих элементов и соотношений. Мы вернемся к этому в разделе 19.6.
Упражнения
(см. скан)
