8.52. Снова теорема Везу

Как мы видели в разделе 7.5, точное описание точек в бесконечности необходимо, чтобы получить теорему Безу о том, что кривая степени пересекает кривую степени точках. Проективное завершение это делает. Предыдущие упражнения показывают, что линии (кривые 1-й степени) пересекаются в точке Вообще, если кривая с однородным уравнением степени

и если кривая с однородным уравнением степени

есть желание показать, что уравнение

которое вытекает из исключения между (1) и (2), — однородное уравнение степени Это не сложно сделать (см. упражнения), но, видимо, однородная формулировка теоремы Безу, со строгим доказательством. что результант имеет степень была дана лишь в конце 1800-х годов [согласно Клайну (1972), с. 553, «точный подсчет кратностей» был впервые сделан Хальфеном в 1873 году].

В гипотезу теоремы Безу должно быть включено очевидное условие: что кривые не имеют общей составляющей. Алгебраический эквивалент этого условия заключается в том, что многочлены не имеют непостоянного общего множителя. Тогда форма теоремы Безу, которую можно доказать с помощью однородных координат, следующая: кривые с однородными уравнениями рт(х,у,г) степеней и без общей составляющей имеют пересечения, заданные решениями однородного уравнения гтп(х, у) степени

Полезное следствие теоремы Безу: кривые степеней имеющие больше пересечений, имеют общую составляющую.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)