19.130. Комбинаторная теория групп

Как говорилось в разделе 19.4, группы правильных многогранников были первыми, которые определили на основе порождающих элементов и соотношений. Однако, с конечными группами, такими как эти, занимаешься, главным образом, простотой и элегантностью представления; вопрос о существовании не возникает. Что касается любой конечной группы можно тривиально получить конечное множество порождающих элементов (а именно, всех элементов группы

и определяющих соотношений (а именно, всех уравнений выполняющихся среди порождающих элементов). Конечно, тот же аргумент дает бесконечное множество порождающих элементов и определяющих соотношений для бесконечной группы, но это также неинтересно. Реальная проблема заключается в том, чтобы найти конечные множества порождающих элементов и определяющих соотношений для бесконечных групп, где возможно.

Впервые эта задача была решена для групп симметрии некоторых правильных мозаик студентом Клейна, Диком, и такие примеры были основой первого систематического изучения порождающих элементов и соотношений. Статьи Дика (1882,1883) заложили основы этого подхода к теории групп, который сейчас называется комбинаторным. Больше специальной информации, а также подробную историю развития комбинаторной теории групп, см. Чандлер и Магнус (1982).

Рисунок 19.5 иллюстрирует, как порождающие элементы и соотношения естественным образом возникают из мозаик. Эта мозаика основана на правильной мозаике евклидовой плоскости из единичных квадратов, но каждый квадрат был разделен на черные и белые треугольники, чтобы исключить симметрии вращения и отражения. Симметрии, которые остаются, порождаются

1. горизонтальным переносом длины 1

2. вертикальным переносом длины 1

Эти порождающие элементы подчинены очевидному соотношению

которое означает, что любой элемент группы может быть записан в виде Если то только, если то есть, только, если следствие соотношения Поэтому все соотношения в группе вытекают из которое означает, что последнее соотношение — определяющее соотношение группы.

Рисунок 19.15: Мозаика плоскости

Очевидность определяющего соотношения в этом случае затмевает от нас тот факт, который становится яснее с мозаиками гиперболической плоскости: порождающие элементы и соотношения можно читать с мозаики. Элементы группы соответствуют клеткам в мозаике, в настоящем примере квадратам. Если мы задаем квадрат, соответствующий единичному элементу 1, то квадрат, на который посылается

квадрат 1 элементом группы можно назвать квадратом Порождающие элементы это элементы, которые посылают квадрат 1 на смежные квадраты. Они порождают группу, потому что квадрат 1 можно послать на любой другой квадрат рядом перемещений от квадрата на смежный квадрат. Соотношения соответствуют равным последовательностям перемещений и, что означает то же самое, последовательностям перемещений, которые возвращают квадрат 1 на его исходную позицию. Все эти последовательности можно вывести из контура вокруг вершины (рисунок 19.6), то есть, последовательности Поэтому все соотношения выводятся из или, что то же самое,

Рисунок 19.6: Контур вокруг вершины

Обобщая эти идеи, Пуанкаре (1882) показал, что группы симметрии всех правильных мозаик, будь то сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости, можно представить конечным числом порождающих элементов и соотношений. Порождающие элементы соответствуют перемещениям основной клетки на смежные клетки, и, следовательно, сторонам основной клетки; определяющие соотношения соответствуют своим вершинам. Эти результаты также были важны для топологии, так мы увидим в главе 22.

Понятие группы, абстрагированное от таких примеров, было выражено отчасти специальным образом, включающим нормальные подгруппы, Диком (1882). Следующий, более простой подход, был разработан Деном и использовался студентом Дена, Магнусом (1930). Группа определяется множеством порождающих элементов и множеством определяющих соотношений. Каждый порождающий элемент а; называется буквой; а, имеет обратный элемент и произвольные конечные последовательности («произведения») букв и обратных букв называются словами.

Слова называются эквивалентными, если следствие определяющих соотношений, то есть, если можно обратить в последовательностью замен подслов 11, на (или наоборот) и сокращением (или вставкой) подслов Элементы классы эквивалентности

и произведение элементов определяется

где обозначает результат соединения в цепь слов Следует проверить, что это произведение вполне определено, но так только это сделано, свойства группы 1), 2) и 3) раздела 19.1 вытекают естественно.

Упражнения

(см. скан)