9.61. Биографические заметки: Валлис, Ньютон и Лейбниц

Джон Валлис (рисунок 9.3) родился в 1616 году в Ашфорде, Кент, и умер в Оксфорде в 1703 году. Он был одним из пяти детей Джона Валлиса, приходского священника Ашфорда, и Джоанны Чэпмен. У него было две старших сестры и два младших брата. Молодого Джона Валлиса признали научным талантом семьи, и в 14 лет его отправили в Фелстед, Эссекс, в школу Мартина Гольбеха, известного учителя того времени. В школе он изучал латынь, греческий и иврит, но он не встречался с математикой пока не вернулся домой на рождественские каникулы в 1631 году. Один из его братьев изучал арифметику, чтобы подготовиться к профессии торговца, и Валлис попросил его объяснить ее. Это оказалось единственным уроком по математике, который когда-либо получал Валлис, несмотря на то, что позже он учился в Эммануэль-колледже в Кембридже. Рисунок 9.3: Джон Валлис Как объяснил Валлис в своей автобиографии:

Математику в то время считали не университетской дисциплиной, а делом торговцев, купцов, моряков, плотников, землемеров и тому подобных; или возможно, некоторых составителей календарей в Лондоне. И более, чем за 200 лет в нашем колледже я вообще не знаю двух людей, кто бы больше занимался математикой, чем я сам, которой было, тем не менее, очень немного; я никогда не делал ее серьезным предметом изучения (или же приятным разнообразием), пока некоторое время назад я не был назначен профессором ее.

[Валлис (1696), с.27]

В Эммануэль-колледже Валлис изучал богословие с 1632 по 1640 год, когда он получил степень магистра гуманитарных наук. Жизнь в колледже, очевидно, была ему приятна, и он остался бы там в качестве стипендиата, если бы имелось место. Он стал стипендиатом Квинс-коллледжа в Кембридже в течение года, но, поскольку стипендиаты должны были оставаться холостыми, оставил место, когда в 1645 году женился. Таким образом, случилось так, что большую часть 1640-х гг. Валлис оставался духовным лицом.

1640-е годы были решающим десятилетием в английской истории, в связи с усилением парламентской оппозиции королю Карлу I и казнью короля в 1649 году. Частично благодаря удаче, частично из-за того, что приспособился к новым политическим условиям, Валлис изменил направление своей жизни к математике. На ранней стадии конфликта он обнаружил у себя весьма ценную способность расшифровать закодированные сообщения. Опять процитируем автобиографию:

Примерно в начале наших гражданских войн, в году 1642, капеллан сэра Уильяма Уоллера показал мне перехваченное письмо, написанное шифром.... Он спросил меня (то ли в шутку, то ли всерьез), смогу ли я что-нибудь с этим сделать.... Я рассудил, что это не может быть ничем иным, кроме как новым алфавитом и, прежде, чем я лег спать, я раскрыл его, что явилось моей первой попыткой в дешифровании.

[Валлис (1696), с. 37]

Это первый в серии успехов, которые были у Валлиса при взломе кодов для парламентариев; они принесли ему не только политическую благосклонность, но также репутацию в математическом искусстве. [Подробнее о криптографии Валлиса см. Кан (1967), с. 166]. Когда роялист Питер Тернер был изгнан с (Savilian) кафедры геометрии в Оксфорде в 1649 году, Валлис был назначен на его место. Наконец, его главная математическая способность получила шанс для развития, и с тех пор он практиковал в математике почти непрерывно до конца своей жизни.

Исаак Ньютон (рисунок 9.4) родился в Рождество 1642 года в Вулсторпе, Линкольншир. Происхождение его семьи и детство не предвещали будущего величия. Отец Ньютона, также Исаак, был довольно состоятельным, но неграмотным человеком, и он умер за три месяца до рождения Ньютона. Его мать, Ханна Эйскоф, вновь вышла замуж, когда Ньютону было три года, только, чтобы отказаться от него по настоянию отчима. Мальчик был оставлен на попечение семьи Эйскоф, обстоятельство, которое помогло его образованию (брат Ханны, Уильям, учился в Кембридже, и со временем он направил туда Ньютона), но эмоционально не компенсировало ему отсутствие отца и матери. В зрелой жизни Ньютон стал очень нервным, скрытным и подозрительным; он никогда не женился и скорее заводил себе врагов, чем друзей. Рисунок 9.4: Исаак Ньютон

Молодой Ньютон больше интересовался строительством сложных машин, тагах как ветряные мельницы, чем университетскими занятиями, хотя как только он сосредоточил свою мысль на этом, он стал первым учеником школы. В 1661 году он поступил в Тринити-колледж в Кембридже, в качестве сайзера. Сайзеры должны были зарабатывать себе на жизнь в качестве слуг более богатых студентов, и то, что он стал таковым, указывало на скупость его матери, поскольку она могла содержать его, но предпочла этого не делать. Первые занятия Ньютона — изучение Аристотеля, обычная учебная программа того времени. Первый мыслитель, который произвел на него впечатление, — Декарт, труды которого наделали тогда шуму в Кембридже. К 1664 году, в ряде заметок, которые он назвал Quaestiones quaedam philosophicae, Ньютона занимали вопросы механики, оптики и физиологии зрения. Он был также поражен геометрией Декарта, предпочитая ее евклидовой, которую при первой встрече «он презирал... как банальную книгу» (согласно позднейшим воспоминаниям де Муавра).

Годы с 1664 по 1666 были самыми важными в математическом развитии Ньютона и, возможно, самым творческим периодом в жизни любого математика. В 1664 году он поглощал математику Декарта, Виета и Валлиса и начал свои собственные исследования. В конце 1664 года он понял идею кривизны, из которой выросло многое в дифференциальной геометрии (см. главу 17). Университет закрылся в 1665 году, который был бедственным годом чумы в большей части Англии. Ньютон вернулся в Вулсторп, где его математические размышления стали всепоглощающей страстью. Пятьюдесятью годами позже Ньютон так вспоминал это время:

В начале 1665 года я нашел метод аппроксимации ряда и правило для уменьшения любого достоинства любого бинома в такой ряд. В том же году 1 мая я нашел метод касательных Грегори и Слуза, и в ноябре имел прямой метод флюксий, и в следующем году в январе имел теорию цветов, и в следующем мае у меня был доступ в обратный метод флюксий. И в том же самом году я начал размышлять о гравитации, распространив до орбиты Луны и... из правила Кеплера периодических времен планет... я вывел, что силы, которые держат планеты на орбитах, должны [быть] взаимно как квадраты своих расстояний от центров.... Все это было в два чумных года: 1665-1666. Ибо в те дни я находился в расцвете своего возраста для

изобретения и занимался механикой и философией больше, чем в любое другое время.

[Уайтсайд (1966), с. 32]

Кроме упомянутых достижений, открытия Ньютона в этот период включали ряд для по крайней мере, в предварительной форме, классификацию кубических кривых.

Как мы видели, первые попытки Ньютона опубликовать свои результаты были безуспешными; тем не менее, кое-кто прочитал их и признал его гений. В 1669 году люкасовский профессор математики в Тринити, Исаак Барроу, ушел в отставку, чтобы посвятить себя теологии, и Ньютона по рекомендации Барроу назначили на кафедру. Ньютон занимал этот пост до 1696 года, когда он принял приводящее в замешательство решение принять должность учителя в Минте, Лондон. Выдающееся достижение его люкасовского профессорства — классические Principia [Ньютон (1687)], или их полное название Philosophiae naturalis principia mathematica (Математические принципы натуральной философии).

Principia, в которых развита теория гравитации, основанная на законе обратных квадратов Ньютона 1665 года, обязаны своему существованию посещению Кембриджа Эдмундом Галлеем в 1684 году. Гипотеза о законе обратных квадратов витала в воздухе в то время, Рен, Гук и сам Галлей думали о ней, но не доставало математического вывода ее последствий. Галлей спросил Ньютона, какую бы кривую описала планета по этому закону, и был рад узнать, что Ньютон вычислил: она должна быть эллипсом. Когда его попросили предоставить доказательство, у Ньютона были некоторые затруднения при его реконструкции, в конце концов, три месяца спустя он послал Галл ею статью на девяти страницах De motu corporum in дугитп (О движении тел на орбите). De motu были Principia в зачаточном виде.

Осознав значение результатов Ньютона, Галлей передал их Королевскому обществу и заставил Ньютона расширить их для публикации. Его толчок пришелся как раз во время. Возбуждение по поводу ранних результатов Ньютона улеглось, и в течение предыдущих шести или семи лет он напрасно тратил свое время над алхимическими опытами. С вновь загоревшимся интересом к математике, Ньютон посвятил следующие 18 месяцев почти исключительно Principia, «столь решительный, столь серьезный над своими занятиями, что он ел недостаточно, мало того, часто он забывал поесть вовсе», как заметил современник

в Кембридже [см. Уэстфол (1980), с. 406]. Когда Книга I была представлена в Королевское общество в апреле 1686 года, ее по-прежнему не хотели печатать, и Галлей предпринял героические усилия, чтобы переубедить их. Он не только рискнул своими деньгами в этом предприятии, но ему пришлось уговаривать Ньютона довести дело до конца, поскольку Ньютон разразился гневом, когда Гук заявил о своих претензиях на приоритет. Наконец, в 1687 году Principia были изданы, и слава Ньютона обеспечена, по крайней мере, в Британии.

В начале 1690-х годов Ньютон работал над исправлением Principia и приведением в порядок некоторых своих ранних исследований. Как мы видели, окончательная форма его классификации кубических кривых относится к этому периоду. В 1693 году у него было серьезное расстройство здоровья, и, быть может, это повлияло на его решение оставить Кембридж ради Минта в 1696 году. Он не оставил полностью науку, став в 1703 году президентом Королевского общества, но его математическая деятельность в основном ограничилась спором о приоритете с Лейбницем по вопросу изобретения исчисления. Ньютон умер в 1727 году и похоронен в Вестминстреском аббатстве. Уэстфол (1980) — отличная биография за последние годы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (рисунок 9.5) родился в Лейпциге в 1646 году и умер в Ганновере в 1716 году. Его отец, Фридрих, был профессором этики в Лейпциге, и его мать, Катерина Шмук, также происходила из ученой семьи. С шестилетнего возраста Лейбницу был предоставлен свободный доступ в отцовскую библиотеку, и он стал ненасытным читателем. В 15 лет он поступил в Лейпцигский университет и получил степень доктора права в Альтдорфе в 1666 году (Лейпциг отказал ему в докторской степени, потому что он был слишком юн). В 1663 году, во время летнего посещения Иенского университета, он немного изучал Евклида, другими предметами изучения были право и философия, предметы, которые должны были стать основой его будущей ьарьеры. Отсутствие ранней практики в математике наложило опечаток на позднейший математический стиль Лейбница, в котором хорошие идеи иногда были недостаточно развиты из-за недостатка технического мастерства. Часто казалось, что ему не хватало не только техники, но также терпения, чтобы развивать идеи, задуманные его широким воображением. Ныне представляется, что Лейбниц был пионером в комбинаторике, математической логике и топологии, но его идеи в этих областях были слишком фрагментарны, чтобы их использовали его современники.

Рисунок 9.5: Готфрид Вильгельм Лейбниц

Интерес к логике привел Лейбница к его первому вторжению в математику, очерку Dissertatio de arte combinatoria [Лейбниц (1666)]. Его цель заключалась в «общем методе, в котором все истины разума были бы сведены к своего рода исчислению». Лейбниц предвидел, что будут задействованы перестановки и комбинации, но он не добился достаточных успехов, чтобы заинтересовать математиков семнадцатого века в этом проекте. Мечта об универсальном логическом исчислении вновь оживилась в девятнадцатом столетии, но, наконец, разбилась вдребезги результатами Геделя (1931) (см. главу 23). Тем не менее, Лейбниц извлек значительную выгоду из своей работы по комбинаторике; она привела его к его идеям в исчислении.

После получения докторской степени по праву, Лейбниц начал юридическую карьеру на службе у курфюрста Майнца. В 1672 году его обязанности призвали его в Париж, где он встретил Гюйгенса, и в первый раз его серьезно захватила математика. Годы с 1672 по 1676 были решающими в математической жизни Лейбница, и подробно освещены Гофманом (1974). Начав с «треугольника Паскаля», который он использовал в своей Dissertatio [Лейбниц (1666)], Лейбниц заинтересовался разностями между последовательными членами ряда. Используя разности, он разработал метод интерполяции для функций, который, как мы увидим в разделе 10.2, был также независим от открытий Ньютона и Грегори. Лейбниц показал свое открытие Гюйгенсу, который побудил его использовать разности в суммировании бесконечных рядов, поставив задачу оценки Лейбниц добился успеха (через некоторое время) и успешно продолжал пользоваться тем же методом в других случаях. Это было его введением к бесконечным процессам исчисления, а также, возможно, истоком предпочтения им решений «конечного вида». В 1673 году он поднялся на новый уровень с открытием

и

почленным интегрированием. К 1676 году он, фактически, завершил свою формулировку исчисления, включая основную теорему, обозначение и знак интеграла.

Первый период математической деятельности Лейбница пришелся на конец 1676 года. Ему не удалось получить научный пост в Париже или Лондоне, в поисках лучшего жалованья он переехал в Ганновер,

чтобы поступить на службу герцога Брауншвейского-Люнебургского. В основные его обязанности входило выступать в качестве советника, библиотекаря и консультанта по некоторым инженерным работам. Когда в 1679 году герцог умер, его наследник поручил Лейбницу составить генеалогию дома Брауншвейгов, чтобы поддержать династические притязания семьи. Лейбниц окунулся в этот проект с таким усердием, которым трудно восхищаться, учитывая цель генеалогии, хотя это дало ему возможность путешествовать, посещать библиотеки и встречаться с учеными всей Европы. В 1682 году он помог основать журнал Acta Eruditorum и пользовался им, чтобы публиковать свои открытия в исчислении, а также открытия своих блестящих последователей, Якоба и Иоганна Бернулли. Это привело к быстрому распространению системы обозначений и методов Лейбница по всему континенту.

С приходом к власти в 1698 году нового герцога Брауншвейгского Лейбниц отчасти утратил милость, хотя сохранил свою должность, и при поддержке других членов семьи в 1700 году основал Берлинскую Академию и стал ее первым президентом. Его последние годы были отравлены спором о приоритете по поводу исчисления и пренебрежением его хозяина. Он по-прежнему упрямо пытался завершить историю дома Брауншвейгов, когда он умер в 1716 году. Его секретарь был единственным человеком, присутствовавшим на его похоронах, и история не публиковалась до 1843 года.