13.88. Колеблющаяся струна

Задача о колеблющейся струне — одна из самых плодовитых в математике, она является источником тагах разных областей как дифференциальные уравнения в частных производных, ряд Фурье и теория множеств. Замечательно также, что она, возможно, является единственным окружением, в котором чувство слуха привело к важным математическим открытиям. Как мы видели в разделе 1.5, пифагорейцы

открыли зависимость между высотой и длиной, слушая гармоничные тоны, создаваемые двумя струнами, длины которых находились в простом целочисленном отношении. Таким образом, в известном смысле, можно «услышать длину струны», и некоторые позднейшие открытия математически важных свойств струн — например, обертонов, первоначально были подсказаны слухом [см. Достровский (1975)].

В античные времена различные авторы предполагали, что физической основой высоты была частота колебания, но лишь в семнадцатом веке была открыта точная зависимость между частотой и длиной струны, наставником Декарта. Исааком Бекманом. В 1615 году Бекман дал простое геометрическое доказательство, чтобы показать, что частота обратно пропорциональна длине; следовательно, пифагорейские отношения длин можно также интерпретировать как (взаимные) отношения частот. Последняя интерпретация более фундаментальна, потому что только частота определяет высоту, тогда как длина определяет высоту только, когда материал, поперечное сечение и натяжение струны постоянны. Зависимость между частотой и натяжением площадью поперечного сечения А и длиной I, экспериментально открыта Мерсенном (1625):

Первый вывод закона Мерсенна на основе математических допущений дан Тейлором (1713), в статье, которая знаменует современной теории колеблющейся струны. В ней он открыл простейшую возможность для мгновенного вида струны, полусинусоидальную волну

и, вообще, установил, что сила на элемент пропорциональна

Последний результат был отправной точкой для драматического успеха в теории Даламбера (1747). Учитывая зависимость у от времени также как от х, Даламбер осознал, что ускорение должно быть выражено и сила, найденная Тейлором, следовательно, фигурируют частные производные. Второй закон Ньютона дает тогда то, что сейчас называется волновым уравнением

записывая постоянную пропорциональности как Не испугавшись этого дифференциального уравнения в частных производных, Даламбер постепенно продвинулся вперед к следующему общему решению. Уравнение можно упростить, изменив масштаб времени до

Цепное правило дает

отсюда Даламабер пришел к выводу, что

— функция и

— функция откуда, скажем,

и, подобным же образом,

Это дает

и, наконец,

Обращая аргумент, мы видим, что функции могут быть произвольными, по крайней мере, пока они допускают различные сложные дифференцирования.

Но насколько произвольной является произвольная функция? Произвольна ли она также, как струна произвольной формы? Задача о колеблющейся струне застала математиков восемнадцатого века неподготовленными к ответу на эти вопросы. Они поняли, что функция должна быть чем-то выраженным формулой, возможно, бесконечным рядом, и полагали, что это гарантировало дифференцируемость. Все же самая естественная форма колеблющейся струны — это форма с недифференцируемой точкой, треугольник перебираемой струны, когда ее отпускают, поэтому, природа, видимо, потребовала расширения понятия функции за пределы мира формул.

Путаница усилилась, когда Даниил Бернулли (1753) заявил, на физических основаниях, что общее решение волнового уравнения могло быть выражено формулой, бесконечным тригонометрическим рядом

Это равнозначно заявлению, что любая мода колебания вытекает из наложения простых мод, факт, который он считал интуитивно очевидным. член в ряду представляет моду, обобщая формулу Тейлора для основной моды и встраиваясь во временную зависимость; но Даниил Бернулли не дал метода вычисления коэффициента

Сейчас мы знаем, что его интуиция была верной, и, что треугольная волновая форма, среди прочих, представима тригонометрическим рядом. Однако прошло значительное время в девятнадцатом веке, прежде чем было получено что-нибудь похожее на ясное понимание тригонометрического ряда. Тот факт, что треугольная волна могла быть представлена рядом, сделал ее настоящей функцией по классическим стандартам, следовательно, привел математиков к пониманию,

что представление ряда не гарантирует дифференцируемости. Позже, была также поставлена под сомнение непрерывность, и бесконечно тонкие задачи, касающиеся сходимости тригонометрических рядов, привели Кантора к развитию теории множеств (см. главу 23).

Эти замечательно далекие последствия того, что казалось, на первый взгляд, чисто физическим вопросом, были, конечно, не только плодами исследований колеблющейся струны. Тригонометрические ряды оказались ценными для всей математики, от теории теплоты, где Фурье применил их с тагам успехом, что они получили известность как ряды Фурье, до теории чисел. Самое известное применение в теории чисел, вероятно, доказательство Дирихле (1837), что любая арифметическая прогрессия где содержит бесконечно много простых чисел. Пифагор непременно бы одобрил!

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)