4.21. Теория пропорций Евдокса
Теория пропорций приписывается Евдоксу (около 400-350 гг. до н. э.), и она изложена в книге V Начал Евклида. Цель теории — дать возможность трактовать длины (и другие геометрические величины) так же точно, как числа, в то же время признавая использование рациональных чисел. Мы видели мотивацию этого в разделе 1.5: греки не могли принять иррациональных чисел, но они принимали иррациональные геометрические величины, такие как диагональ единичного
квадрата. Для упрощения изложения теории, будем называть длины рациональными, если они рациональные кратные постоянной длины.
Идея Евдокса заключалась в том, чтобы сказать, что длина 
определяется теми рациональными длинами, которые меньше ее, и теми, которые больше ее. Точнее говоря, он утверждает, что 
если любая рациональная длина 
также 
и наоборот. Также 
если есть рациональная длина 
Это определение использует рациональные числа, чтобы дать бесконечно резкое определение длины, одновременно избегая какого-либо явного использования бесконечности. Конечно, бесконечное множество рациональных длин 
представлено мысленно, но Евдокс избегает упоминания об этом, говоря о произвольно рациональной длине 
Теория пропорций была настолько успешной, что она задержала развитие теории действительных чисел на 2000 лет. Это было нелепо, потому что теорию пропорций можно использовать для определения иррациональных чисел, также как и длин. Хотя это было понятно, потому что общие иррациональные длины, такие как диагональ единичного квадрата, возникли из построений, которые интуитивно ясны и конечны с геометрической точки зрения. Любой арифметический подход к 
с помощью ли последовательностей, десятичных чисел или непрерывных дробей, бесконечен и, поэтому, менее интуитивен. До девятнадцатого века это представлялось достаточной причиной того, чтобы считать геометрию лучшим основанием математики, чем арифметику. Затем в голову пришли проблемы геометрии, и математики начали бояться геометрической интуиции также, как они раньше боялись бесконечности. Произошло удаление геометрической аргументации из учебников и усердное построение математики заново на основе чисел и множеств чисел. Теория множеств обсуждается далее в главе 23. В настоящий момент достаточно сказать, что теория множеств зависит от признания завершенных бесконечностей.
Красота теории пропорций заключалась в ее приспособляемости к этому новому климату. Вместо рациональных длин, принимаем рациональные числа. Вместо сравнения существующих иррациональных длин посредством рациональных длин, строим иррациональные числа на пустом месте, используя множества рациональных! Длина 
определяется двумя множествами положительных рациональных чисел
Дедекинд (1872) решил, что пусть этим 
будет эта пара множеств! Вообще, пусть любое разбиение положительных рациональных чисел
на множества 
так что любой член 
меньше, чем любой член 
будет положительным действительным числом. Эта идея, известная ныне как дедекиндово сечение, больше чем просто уловка Евдокса; она дает полное и единое построение всех действительных чисел или точек на линии, используя именно дискретное, наконец, разрешая фундаментальный конфликт в греческой математике! Понятно, что Дедекинд был доволен своим достижением. Он писал
Сколь часто утверждается, что дифференциальное исчисление имеет дело с непрерывной величиной, и все же объяснение этой непрепрывности нигде не дается... И тогда осталось лишь открыть истинное начало в элементах арифметики и, таким образом, одновременно получить реальное определение сущности непрерывности. Я добился успеха 24 нояб. 1858.
[Дедекинд (1972), с. 2]
Упражнения
(см. скан)
