16.107. Двойная периодичность эллиптических функций
Представление об интегрировании комплексной функции, обеспеченное теоремой Коши, — шаг к пониманию эллиптических интегралов,
тагах как 
Другой важный шаг — идея о римановой поверхности (раздел 15.4), которая дает нам возможность мысленно представить возможные пути интегрирования от 
до 
. «Функция» 
, конечно, двузначная, и по аргументации, похожей на аргументацию раздела 15.4, представлена двулистным покрытием сферы 
с точками ветвления в 
Поэтому пути интегрирования, правильно изображенные, — кривые на этой поверхности, которая топологически является тором (опять, как в разделе 15.4).
Теперь тор содержит некоторые замкнутые кривые, которые не ограничивают участок поверхности, например, кривые и показанные на рисунке 16.1. Области 
ограниченной или — 2, нет; следовательно, теорема Грина не применяется, и мы, по существу, получаем ненулевые значения
Следовательно, интеграл
будет неопределенным: для каждого значения 
полученного для некоторого пути от 
до 
мы также получаем значения 
добавив к виток, который обвивается то раз вокруг и 
раз вокруг (По топологическим причинам это, по существу, наиболее общий путь интегрирования.)
Отсюда следует, что обратное отношение 
эллиптическая функция, соответствующая интегралу, удовлетворяет
для любых целых то, 
То есть, 
двоякопериодическая, с периодами 
Это интуитивное объяснение двойной периодичности появилось благодаря Риману (1851), который позже [Риман (1858а)] с этой точки зрения развил теорию эллиптических функций.
Рисунок 16.1.: Неограничивающие кривые на торе
Замечательные разложения в ряд эллиптических функций, которые аналитически показывают двойную периодичность, был открыты Эйзенштейном (1847). Предшественниками рядов Эйзенштейна, как указал сам Эйзенштейн, были разложения на простые дроби круговых функций, открытые Эйлером, например,
[Эйлер (1748а), с. 191]. Очевидно (по крайней мере, формально, хотя следует быть немного осторожным со значением этого суммирования, чтобы обеспечить сходимость), что сумма не изменяется, когда х заменяется на 
следовательно, период 
непосредственно показывается ее разложением в ряд. Эйзенштейн показал, что двояко-периодические функции можно получить с помощью аналогичных выражений, таких как
которое снова (с подходящей интерпретацией для обеспечения сходимости) очевидным образом не изменяется, когда 
заменяется на 
или 
Следовательно, мы получаем функцию с периодами Приведенная выше функция, фактически, идентична (вплоть до константы) 
-функции Вейерштрасса, о которой говорилось в разделе 12.5, как обратная интегралу 
Вейерштрасс (1863), с. 121 нашел отношения между 
и периодами 
где суммы над всеми парами 
Элегантные современные объяснения теорий Эйзенштейна и Вейерштрасса можно найти у Вейля (1976) и Роберта (1973).
