12.83. Постскриптум о лемнискате

Удвоение дуги лемнискаты имело несколько интересных последствий для самой лемнискаты. Фагнано показал, с помощью похожих аргументов, что квадрант лемнискаты можно разделить на две, три или пять равных дуг с помощью линейки и циркуля [см. Эйуб (1984)]. Это вызвало вопрос: для какого лемнискату можно разделить на равных частей с помощью линейки и циркуля? Напомним из раздела 2.3, что на соответствующий вопрос для круга ответил Гаусс (1801), ст. 366. Ответ следующий: где каждое простое число вида Во введении к своей теории Гаусс заявляет:

Принципы теории, которые мы собираемся объяснить, действительно распространяются намного дальше, чем мы укажем. Ибо они могут применяться не только к круговым функциям, но точно также к другим трансцендентным функциям, т. е., к тем, которые зависят от интеграла

Однако его сохранившиеся статьи не включают ни одного такого же проницательного результата о лемнискате, как его результат о круге. Есть лишь запись в дневнике от 21 марта 1797 года, где утверждается делимость лемнискаты на пять равных частей.

Ответ на задачу деления лемнискаты на равных частей найден Абелем (1827), который преобразовал туманность Гаусса в кристальную ясность: деление с помощью линейки и циркуля возможно для точно такого же как для круга. Этот удивительный результат служит, возможно, лучше, чем любой другой, подчеркиванию объединяющей роли эллиптических функций в геометрии, алгебре и теории чисел. Современное его доказательство можно найти у Розена (1981).