Глава 10. Бесконечные ряды
10.62. Ранние результаты
Бесконечные ряды были представлены в греческой математике, хотя греки пытались заниматься ими как конечными, насколько возможно, работая с произвольными конечными суммами 
вместо бесконечных сумм 
Однако, в этом как раз состоит разница между потенциальной и действительной бесконечностью. Вопроса о том, что, например, парадокс Зенона о дихотомии (раздел 4.1) касается разложения числа 1 в бесконечный ряд
и что Архимед нашел площадь параболического сегмента (раздел 4.4), по существу, суммируя бесконечный ряд
не возникает. Оба этих примера — частные случаи результата, который мы выражаем как суммирование геометрического ряда
Первые примеры бесконечных рядов, отличные от геометрических, появились в средние века. В книге примерно от 1350 года, названной Liber calculationum Ричард Суизет (или Суайнсхед, известный как Вычислитель) использовал очень длинную словесную аргументацию, чтобы показать, что
[Аргументация воспроизведена у Бойера (1959), с. 78.] Примерно в то же время Орем (1350b), стр. 413-421, суммировал этот и аналогичные ряды с помощью геометрического разложения, как на рисунке 10.1, показывая
Рисунок 10.1: Суммирование Орема
Фактически. Орем приводит на рисунке лишь последнюю тартинку, но представляется вероятным, что он пришел к ней, разрезая площадь двух квадратных единиц (так показано), судя по его вводному замечанию: «Конечную поверхность можно составлять столь длинной, сколь мы желаем, или высокой, изменяя растяжение без увеличения размера». Область, построенная Оремом, между прочим, — возможно, первый пример явления, с которым столкнулся Торричелли (раздел 9.2) в гиперболическом теле вращения — бесконечный размер, но конечный объем.
Еще одно важное открытие Орема заключалось в расхождении гармонического ряда
Его доказательство было элементарным аргументом, который сейчас стандартен.
Таким образом, многократно удваивая число членов, собранных в последовательные группы, мы можем бесконечно получать группы суммы 
давая сумме возможность перерасти все границы.
Как указывалось в разделе 9.4, индийские математики нашли ряд
с его важным частным случаем
в пятнадцатом веке. Ряд для 
был первым удовлетворительным ответом на классическую задачу квадратуры круга, ибо хотя выражение бесконечно (как, вероятно, должно быть, в свете теоремы Линдемана о трансцендентности 
правило порождения последовательных членов настолько конечно и прозрачно, насколько, возможно, могло быть. Печально, что индийский ряд стал известен на Западе слишком поздно, чтобы оказать какое-либо влияние или даже, до сих пор, воздать надлежащую честь его открывателю. Раджагопал и Рангачари (1977, 1986) показали, что ряды для 
были известны в Индии до 1540 года, и, вероятно, до 1500 года, но конкретные даты и их открыватели точно неизвестны.
Упражнения
(см. скан)
