1.4. Прямоугольные треугольники

Самое время посмотреть на теорему Пифагора с традиционной точки зрения, как на теорему о прямоугольных треугольниках; однако, мы будем довольно кратки насчет ее доказательства. Неизвестно, каким образом теорема была впервые доказана, но, вероятно, это было сделано с помощью простых манипуляций с площадью, возможно, подсказанных перестановкой мозаик пола. Насколько же легко можно доказать теорему Пифагора показано на рисунке 1.7 [приведенном Хитом (1925) в его издании Начал Евклида, т. 1, с. 354]. Каждый большой квадрат содержит четыре копии заданного прямоугольного треугольника. Вычитание этих четырех треугольников из большого квадрата

оставляет, с одной стороны (рисунок 1.7, слева), сумму квадратов на обеих сторонах треугольника. С другой стороны (справа), оно также оставляет квадрат на гипотенузе. Это доказательство, как сотни других, которые были даны для теоремы Пифагора, основывается на некоторых геометрических допущениях. На самом деле, возможно выйти за пределы геометрических допущений, используя числа как основание для геометрии, и тогда теорема Пифагора становится истинной почти по определению, как непосредственное следствие определения расстояния (см. раздел 1.6).

Рисунок 1.7: Доказательство теоремы Пифагора

Для греков, однако, не представлялось возможным построить геометрию на основе чисел, из-за конфликта между их понятиями числа и длины. В следующем разделе мы увидим, как возник этот конфликт.

Упражнения

(см. скан)