5.30. Рациональные треугольники
После открытия рациональных прямоугольных треугольников и их полного описания Евклидом (раздел 2.8), есть вопрос, возникновение которого можно было ожидать: а что касается рациональных треугольников вообще? Конечно, любые три рациональных числа могут служить сторонами треугольника, при условии, что сумма двух любых из них больше третьего. Таким образом, «рациональный треугольник» должен быть таким, который рационален не только по длинам своих сторон, но также по некоторой другой величине, такой как высота или площадь. Поскольку площадь 
основания х высота, треугольник с рациональными сторонами имеет рациональную площадь тогда и только тогда, когда все его высоты рациональны, поэтому разумно определить, что рациональный треугольник — это треугольник с рациональными сторонами и рациональной площадью.
О рациональных треугольниках возникает много вопросов, но они редко встречаются в греческой математике. Насколько нам известно, первый, кто их основательно рассмотрел, был Брахмагупта, в своей Brahma-sphuta-siddhanta 628 г. н. э. В частности, он нашел следующее полное описание рациональных треугольников.
Теорема Параметризация рациональных треугольников. Треугольник с рациональными сторонами 
и рациональной площадью имеет вид
для некоторых рациональных чисел 
Брахмагупта [см. Коулбрук (1817), с. 306] фактически имеет множитель 1/2 в каждой из 
и с, но он избыточен, потому что, например,
где 
также рациональны. Формула излагается без доказательства, но его будет легко увидеть, если переписать 
и сделать следующее более строгое утверждение.
Любой треугольник с рациональными сторонами и рациональной площадью имеет вид
для некоторых рациональных 
с высотой 
расщепляющей сторону с на сегменты 
Более строгое утверждение, в частности, говорит, что любой рациональный треугольник расщепляется на два рациональных прямоугольных треугольника. Это следует из параметризации рациональных прямоугольных треугольников, которая была известна Брахмагупте.
Доказательство. В любом треугольнике с рациональными сторонами 
с высота 
расщепляет с на рациональные отрезки 
(рисунок 5.1). Из теоремы Пифагора следует, что на два прямоугольных треугольника со сторонами 
соответственно. А именно,
Следовательно, по вычитанию,
поэтому
Но также
следовательно,
оба рациональны.
Таким образом, если площадь и, следовательно, высота 
также рациональны, треугольник расщепляется на два рациональных прямоугольных треугольника со сторонами 
Рисунок 5.1: Расщепление рационального треугольника Из метода Диофанта (раздел 4.3) мы знаем, что любой рациональный прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 имеет стороны вида
или, записав 
Таким образом, произвольный рациональный прямоугольник с гипотенузой 1 есть кратное [по 
треугольник со сторонами
Последний, поэтому, представляет все рациональные прямоугольные треугольники с высотой 
по мере изменения рационального 
И отсюда следует, что любые два рациональных прямоугольных треугольника с высотой 
имеют стороны
для некоторых рациональных 
Соединив оба (рисунок 5.2), получаем произвольный рациональный треугольник, и его стороны и высота имеют требуемый вид.
Рисунок 5.2: Собирание произвольного рационального треугольника
Упражнения
(см. скан)
