20.133. Арифметика пар
В Книге III, задаче 19 своей Арифметики Диофант отмечает 65 естественно делится на два квадрата двумя способами, а именно, на 
что происходит благодаря тому, что 65 — произведение 13 и 5, каждое из которых — сумма двух квадратов.
Видимо, он знает, что произведение сумм двух квадратов само является суммой двух квадратов вследствие тождества
Как обычно, Диофант просто иллюстрирует общий результат, в этом случае, принимая 
Но позже математики осознали, к чему он клонил: общее тождество наблюдалось аль-Хазином около 950 г. н. э., комментировавшего как раз эту задачу у Диофанта, и оно было доказано в Книге квадратов Фибоначчи в 1225 году.
Хотя Диофант говорит на языке произведений сумм квадратов 
он, на самом деле, оперирует парами 
потому что он считает 
квадратом гипотенузы прямоугольного треугольника с парой сторон 
Беря верхние знаки в своем тождестве, он описывает правило выбора двух треугольников 
и создания третьего треугольника 
гипотенуза которого является произведением гипотенуз двух треугольников, заданных первоначально.
Теперь, если мы интерпретируем 
как 
вместо треугольника, правило Диофанта является ничем иным, как правилом умножения комплексных чисел, потому что
Его гипотенуза 
это то, что мы называем абсолютным значением 
числа а 
и его тождество (с верхними знаками) — мультипликативное свойство абсолютного значения:
Таким образом, Диофант «наблюдал», в некотором роде, правило перемножения комплексных чисел, а также мультипликативное свойство, которое оно подразумевает для абсолютного значения. Правда, здесь нет правила сложения, которое берет пары 
и создает пару 
поэтому у Диофанта нет реальной арифметики пар — но это могло подождать.
Понятие комплексного числа должно было возникнуть в алгебре и принять бремя геометрии и анализа, прежде чем математики почувствовали необходимость задать вопрос: что такое комплексное число? Окончательный ответ был дан Гамильтоном (1835): комплексное число — это упорядоченная пара 
действительных чисел, и эти пары складываются и умножаются в соответствии с правилами:
Причина замены 
парой действительных чисел 
конечно, заключается в удалении спорного объекта 
Как только это сделано, легко найти правила сложения и умножения 
и 
Просто перепишите правила сложения и умножения 
в понятиях пар. Кажется, что это похоже на ловкий трюк — использовать 
чтобы найти правило умножения, затем удалить 
пота мы не вспомним, что Диофант нашел правило умножения без какой-либо помощи 
Гамильтон осознал, что умножение пар действительных чисел само по себе было важным вопросом. На самом деле, его интересовал более важный вопрос умножения троек, четверок и т.д. Есть очевидный способ сложения троек, например, сложение векторов
которое обобщает 
-кратные для любого 
Но что оно могло означать для умножения троек? Правило умножения пар не обобщает никаким очевидным образом. Гамильтона годами мучила эта проблема, и долгое время его арифметика пар была единственным успехом, о котором он
вынужден был сообщать. Как мы увидим, она сыграла важную роль в выяснении, что такое арифметика в одном и двух измерениях, и такой ей следует быть в более высоких измерениях.
Упражнения
(см. скан)
