17.112. Кривизна плоских кривых

Одна из самых важных идей в дифференциальной геометрии — идея о кривизне. Развитие этой идеи от кривых до поверхностей, затем до пространств более высокой размерности, имело много важных последствий для математики и физики, среди них внесение ясности как в математическое, так и физическое значение «пространства», «пространства-времени» и «гравитации». В этом разделе мы бросим

взгляд на начала теории кривизны в теории кривых семнадцатого века. Та теория, которая здесь обсуждается, касается только плоских кривых; пространственные кривые предполагают дополнительное рассмотрение кручения (скручивания), которым мы не будем заниматься.

Точно так же, как направление кривой С в точке определяется аппроксимацией ее прямой линии, то есть, касательной, в кривизна определяется аппроксимирующим кругом. Ньютон (1665с) первым выделил круг, который определяет кривизну: круг, проходящий через центр которого, является предельным положением пересечения нормали, проходящей через и нормали, проходящей через близкую точку на кривой (рисунок 17.4). R называется центром кривизны, радиусом кривизны и кривизной. Отсюда следует, что круг радиуса имеет постоянную кривизну Еще одна кривая постоянной кривизны — прямая линия, которая имеет кривизну 0. Это следствие формулы кривизны, открытой Ньютоном (1671):

Рисунок 17.4: Нормали, проходящие через близкие точки на кривой

Между кривой С и геометрическим местом центра кривизны С есть интересная зависимость. С — это так называемая эвольвента С, которая, интуитивно говоря, является путем конца участка струны, когда ее раскручивают от (рисунок 17.5). Интуитивно понятно, что конец струны, незамедлительно движется в круге с центром в точке, где струна касательна к

Рисунок 17.5: Построение эвольвенты

Геометрическое свойство циклоиды, которое Гюйгенс (1673) использовал для разработки циклоидального маятника (раздел 13.3), теперь можно понимать просто: эвольвента циклоиды является еще одной циклоидой. Два других ошеломляющих результата об эвольвенте получены братьями Бернулли. Якоб Бернулли (1692) нашел, что эвольвентой логарифмической спирали является еще одна логарифмическая спираль, а Иоганн Бернулли (1691) нашел, что трактриса является эвольвентой цепной линии.

Еще одно полезное и интуитивное определение кривизны, которое оказывается эквивалентным предыдущему, дано Кэстнером (1761). Он определил кривизну как скорость, с которой поворачивается касательная. то есть, где угол между

касательными в точках, разделенных дугой кривой длины Из этого определения следует, что для простой замкнутой кривой поскольку касательная делает один полный поворот на контуре вокруг В разделе 17.6 мы увидим, что этот результат имеет очень интересное обобщение для кривых на неплоских поверхностях.

Упражнения

(см. скан)