18.124. Биографические заметки: Бойяи и Лобачевский

Янош Бойяи родился в 1802 году в Коложваре, бывшим тогда частью венгерской Трансильвании (ныне Клуж, Румыния), и умер в Марошвашархейе в Венгрии (ныне Тыргу-Муреш, Румыния) в 1860 году. Его отец, Фаркаш (известен также под немецким именем, Вольфганг), был профессором математики, физики и химии, а его мать, Сюзанна фон Аркош, была дочерью хирурга. Янош получил свое первое образование у своего отца, а также с 1815 по 1818 годы учился в Евангелическо-реформатском колледже, где преподавал его отец. Фаркаш был сокурсником Гаусса в Геттингене, и надеялся, что Янош сменит его там, но вместо этого молодой Бойяи выбрал военную карьеру. С 1818 по 1822 годы он учился в Венской инженерной академии и затем поступил в армию.

В армии Янош получил известность непобедимого дуэлянта, но он страдал от приступов лихорадки и, в конце концов, в 1833 году его уволили на пенсию. Он вернулся в Марошвашархейе, чтобы жить

со своим отцом, но они не ладили друг с другом, и в 1834 году он переехал в небольшое семейное поместье. Он создал домашний очаг вместе со своей любовницей Розали фон Орбан; у них было трое детей. Это могло стать началом математической карьеры, в духе Декарта, в качестве праздного сельского джентльмена. Но, печально говорить, в 1833 году математическая карьера Бойяи уже закончилась, и только после его смерти мир узнал, что он что-то совершил.

Янош унаследовал страсть к основам геометрии от своего отца, до такой степени, что в 1820 году Фаркаш попытался почти безнадежно отвлечь его от задачи о параллельных: «Тебе не следует испытывать параллели тагам образом, я знаю этот путь до конца — я также измерял этой беспросветной ночью, я потерял в ней всякий свет, всякую радость жизни» [Штекель (1913), стр. 76-77]. Конечно, Янош игнорировал это предупреждение, но, в конечном счете, он нашел способ, который упустил Фаркаш. После неудачных попыток доказать евклидову аксиому о параллельных, он отказался от нее и приступил к выведению следствий из Аксиомы . К 1823 году его результаты, видимо, были столь полны и элегантны, что они так или иначе должны были быть реальными, и он с триумфом написал своему отцу: «Из ничего я создал другой, совершенно новый мир».

Фаркаш не желал принимать новую геометрию, но в июне 1831 года он согласился послать результаты своего сына Гауссу, который не отвечал в течение шести месяцев (надо признаться, как раз в это время умерла его жена). Когда Гаусс ответил, его ответ был выдержан в наиболее вообразимой манере самоподачи:

Теперь несколько слов о работе Вашего сына. Вероятно, Вы будете на мгновенье шокированы, когда я начинаю с высказывания, что я не могу похвалить ее, но я не могу сделать ничего иного, поскольку похвалить, означало бы похвалить самого себя. Все содержание статьи, путь, на который встал Ваш сын, и результаты, к которым он привел, почти везде согласуются с моими собственными размышлениями, которые частью занимали меня в течение 30-35 лет.

[Гаусс (1823b)]

Позже в письме Гаусс предложил Бойяи те же сомнительные комплименты, которые он предложил Абелю (см. раздел 12.6) за то, что тот «освободил его от бремени» восхвалять результаты в печати самому,

и он поставил вопрос об объеме тетраэдра в качестве задачи дальнейших исследований.

Как мы сейчас знаем, у Гаусса к этому времени на самом деле были многие результаты неевклидовой геометрии, включая ответ на задачу об объеме, которую он поставил, чтобы испытать своего молодого соперника [см. Гаусс (1832а)]. Тем не менее, Гаусс почти непременно ошибался, когда намекал, что его пониманию неевклидовой геометрии уже 35 лет. Еще в 1804 году, когда Фаркаш Бойяи писал ему о проблеме параллельных, Гаусс не мог предложить помощи, кроме надежды, что однажды задача разрешиться [см. Кауфман-Бюлер (1981), с. 100].

Янош Бойяи был разочарован и раздражен ответом Гаусса, но сразу не сдался. Он опубликовал свою работу в качестве приложения к книге отца Tentamen [Ф. Бойяи (1832а)]. Однако, когда другие математики не откликнулись, он пришел в уныние и больше никогда не печатался снова. Его также беспокоила возможность, что, в конце концов, в его геометрии могли быть противоречия. Как мы знаем, эта возможность не исключалась до 1868 года, а к тому времени Гаусс, Бойяи и Лобачевский уже умерли.

Николай Иванович Лобачевский (рисунок 18.17) родился в Нижнем Новгороде в 1792 году и умер в Казани в 1856 году. Он был сыном Ивана Максимовича Лобачевского и Прасковьи Александровны. Его отец умер, когда Николаю было пять лет, и мать с тремя сыновьями переехала в Казань. Настойчивыми усилиями она смогла добиться стипендий для их образования, и в 1807 году Николай поступил в Казанский университет, который был основан двумя годами ранее. Его наставником был Мартин Бартельс, бывший учитель Гаусса, но связь с геометрическими идеями Гаусса представляется еще менее вероятной, чем в случае с Бойяи, поскольку Бартельс мало контактировал с Гауссом после того, как тот закончил школу.

Рисунок 18.17: Николай Иванович Лобачевский

Остаток жизни Лобачевский провел в Казани, став в 1814 году профессором и много поспособствовав росту университета. В 1832 году он женился на богатой даме, Варваре Алексеевне Моисеевой, в 1837 году ему пожаловали дворянство в знак признания его заслуг в образовании. У пары было семеро детей.

Исследования параллельных Лобачевским начались в 1816 году, когда он читал лекции по геометрии, и вначале он думал, что мог доказать евклидову аксиому. Постепенно он осознал способ, которым параллели регулируют другие геометрические свойства, такие как площади, и в 1832 году он написал Геометрию, в которой отделил теоремы,

не требующие предположения о параллельных, от теорем, которые его требовали. Однако он, по-прежнему, верил в евклидову аксиому, поэтому на этом этапе Бойяи был впереди него. Публикации Лобачевского о неевклидовой геометрии начались в 1829 году, но сначала они не привлекли внимания, поскольку были на русском языке, а Казанский университет был мало известен. Он получил более широкую аудиторию с публикацией статьи на французском языке в журнале Крелля в 1837 году, но, видимо, Гаусс был единственным, кто признал ее важность. Гаусс, на самом деле, был столь впечатлен, что собрал неизвестные казанские публикации Лобачевского и изучал русский язык, чтобы читать их, но он опять не был склонен признаться другим, как он был поражен. По-видимому, он вообще никогда не контактировал с Лобачевским, и только из письма (1846b), опубликованного после его смерти, его мнение стало известным. Как обычно, первой мыслью Гаусса было защитить свой приоритет, и его память относительно того, когда он открыл неевклидову геометрию, видимо, с возрастом улучшилась:

Лобачевский называет ее мнимой геометрией. Вы знаете, что я был убежден в этом же в течение 54 лет (с 1792 года), с некоторым более поздним расширением, в которое я не хочу здесь вдаваться. В статье Лобачевского для мене не было ничего материально нового, но он объясняет свою теорию в некотором отношении иначе, чем я, и делает это мастерским образом, в поистине геометрическом духе.

[Кауфман-Бюлер (1981), с. 150]

Возможно, Лобачевскому повезло не слышать тот род похвал, который Гаусс расточал на своих соперников, хотя его, несомненно, было труднее обескуражить, чем Бойяи. Несмотря на молчание зарубежных математиков, противодействие математиков в России и наступившую слепоту в зрелые годы, он продолжал совершенствовать и расширять свою теорию. Окончательный вариант его труда, Пангеометрия, опубликован в 1855-56 гг., последнем году его жизни.