22.153. Поверхности и плоскости

В разделе 16.5 мы отметили, что эллиптическая функция определяет отображение плоскости на тор. Такие отображения также интересны в топологическом контексте, где они называются универсальными покрытиями. Вообще, отображение поверхности на поверхность называется покрытием, если оно локально является гомеоморфизмом, то есть, когда оно ограничено достаточно малыми участками Отображение плоскости на тор в разделе 16.5 является покрытием, потому что оно — гомеоморфизм, когда ограничено любой областью, меньшей, чем параллелограмм периода.

Еще один интересный пример покрытия, который мы уже встречали, — отображение сферы на проективную плоскость, данное Клейном (1874) (раздел 8.5). Это отображает посылает каждую пару антиподальных точек сферы в одну и ту же точку проективной плоскости, и, следовательно, оно является гомеоморфизмом, когда ограничено любой частью сферы, меньшей, чем полусфера.

Еще один пример — покрытие псевдосферы сектором орицикла (раздел 18.4) Бельтрами (1868а). Топологически, это покрытие — такое же, как покрытие полуцилиндра полуплоскостью (рисунок 22.9). Все эти покрытия универсальны в том смысле, что поверхность покрытия (сферу или плоскость) можно покрыть только самой

Рисунок 22.9: Покрытие цилиндра

Пример неуниверсального покрытия — покрытие тора цилиндром, интуитивно похоже на бесконечную змею, глотающую свой собственный хвост (рисунок 22.10). Оно неуниверсально, потому что цилиндр можно, в свою очередь, покрыть плоскостью, точно также как полуцилиндр покрыт полуплоскостью на рисунке 22.9. Действительно, составляя композицию покрытий плоскость цилиндр тор, мы восстанавливаем наш первый пример, покрытие плоскость тор.

Рисунок 22.10: Покрытие тора

Поскольку сфера может быть покрыта только собой, первые интересные примеры покрытий — покрытия ориентируемых поверхностей рода (то есть, эйлерова характеристика Все эти поверхности можно покрыть плоскостями. Более того, всякую неориентируемую

поверхность можно дважды покрыть ориентируемой поверхностью тагам же образом, каким проективная плоскость покрыта сферой, поэтому главное, что нам нужно понять, — универсальное покрытие ориентируемых поверхностей рода плоскостями.

Основная идея появилась благодаря Шварцу, и стала общеизвестной из письма Клейна Пуанкаре [Клейн (1882а)]. Для того чтобы построить универсальное покрытие поверхности берем бесконечно много копий фундаментального многоугольника для и размещаем их в плоскости, так что смежные копии пересеваются таким же образом, каким пересевает себя на Например, тор на рисунке 22.11 имеет показанный квадратный фундаментальный многоугольник который пересевает себя вдоль (где стрелга увазывают, что края должны совпадать по направлению, также как метва).

Рисунок 22.11: Тор и его фундаментальный многоугольник

Если взамен мы возьмем бесконечно много отдельных копий и соединим смежные копии , то мы получим плоскость мозаичную, как на рисунке 22.12. Универсальное покрытие определяется тогда отображением важдой копии естественным образом на

Мозаику рисунва 22.12, конечно, можно реализовать квадратами в евлидовой плоскости. Мы, поэтому, накладываем евклидову геометрию на тор, определяя, что расстояние между (достаточно близгами) точвами на торе является евклидовым расстоянием между соответствующими точками прообраза в плоскости. В частности, «прямые линии» (геодезические) на торе являются образами прямых линий в евклидовой плоскости. Конечно, геометрия тора — не вполне геометрия плоскости, поскольку есть замкнутые геодезические, такие как образы отрезков линии a и b. Однако она евклидова, когда ограничена достаточно малыми областями. Например, сумма углов важдого треугольнива на торе равна

Рисунок 22.12: Мозаива покрытия тора

Для поверхностей рода то есть, отрицательной эйлеровой характеристики, теорема предсказывает отрицательную кривизну и, следовательно, естественная плоскость покрытия должна быть гиперболической. Это также можно увидеть непосредственно из комбинаторной природы мозаига на универсальном покрытии. Например, фундаментальный многоугольник поверхности -го рода является восьмиугольником (рисунок 22.13).

Рисунок 22.13: Поверхность 2-го рода и ее фундаментальный многоугольник

В универсальном покрытии восемь из этих восьмиугольников должны пересекаться в каждой вершине, как восемь углов единственного пересекаются на Такая мозаика невозможна по правильным восьмиугольникам в евклидовой плоскости, но она существует в гиперболической плоскости, как показывает рисунок 22.14.

Рисунок 22.14: Мозаика покрытия 2-го рода

Действительно, эта мозаика получена амальгамированием треугольников в мозаике Гаусса (рисунок 18.15). Мозаики для общего рода можно подобным образом реализовать геометрически в гиперболической области, и они были среди гиперболических мозаик, рассмотренных Пуанкаре (1882) и Клейном (1882b). Функцию расстояния, следовательно, кривизну и местную геометрию можно переместить из плоскости покрытия на поверхность, как мы сделали выше для тора.

Упражнения

(см. скан)