22.155. Биографические заметки: Пуанкаре

Анри Пуанкаре (рисунок 22.16) родился в Нанси в 1854 году и умер в Париже в 1912 году. Его отец, Леон, был врачом и профессором медицины в университете Нанси, и Анри вырос в уютном академическом окружении. Он и его младшая сестра, Алина, сначала учились у своей матери, и позже Пуанкаре проследил свои математические способности до бабушки с материнской стороны. В пять лет он перенес приступ дифтерии, который ослабил его здоровье и сделал невозможным его участие в более шумных детских играх. Он возместил это, сочиняя шарады и небольшие пьесы, и позже он стал хорошим танцором. В томе, посвященном его столетию (1955), который составляет вторую

половину тома 11 Oeuvres Пуанкаре, можно увидеть много фотографий Пуанкаре и его семьи.

Рисунок 22.16: Анри Пуанкаре

Лишенный возможности участвовать в большинстве игр, Пуанкаре имел массу времени на чтение и занятия, и когда он начал посещать школу, в восемь лет, он сделал быстрые успехи. Его способности сначала проявились в написании сочинений, но к концу обучения в школе также стал очевиден его внушительный математический талант. Он выиграл первую премию в общенациональном конкурсе по математике и был первым на вступительном экзамене в Политехническую школу в 1873 году. Это, между прочим, несмотря на франко-прусскую войну (1870-1871), во время которой родная провинция Пуанкаре, Лотарингия, приняла на себя главный удар немецкого вторжения. В это время Пуанкаре сопровождал своей отца в обходах полевых госпиталей, став в результате пламенным патриотом Франции. Однако он никогда не возлагал на немецких математиков ответственности за жестокость их соотечественников. Во время войны он изучил немецкий язык, чтобы читать новости, и позже он хорошо использовал это знание, общаясь с немецкими коллегами Фуксом и Клейном.

В Политехнической школе Пуанкаре продолжал хорошо заниматься, хотя неуклюжесть в рисовании и экспериментальной работе стоили ему первого места. [Его отметки по рисованию, хотя и средние, никогда не были нулевыми, несмотря на часто рассказываемые об этом истории. Результаты Пуанкаре можно увидеть в томе, посвященном его столетию (1955)]. Любопытно, на этом этапе он намеревался стать инженером и учился с 1875 по 1879 год в Горной школе, одновременно работая над докторской диссертацией по математике. Он недолго работал горным инженером, прежде чем стать преподавателем математики Кайенского университета в 1879 году. Именно в Кайене Пуанкаре сделал свое первое важное открытие: вхождение неевклидовой геометрии в теорию комплексных функций. Он размышлял над периодичностью относительно дробно-линейных преобразований, после того, как встретил функции с этим свойством в работе Лазаря Фукса. Рассматриваемые функции возникли из дифференциальных уравнений, и Пуанкаре старался изо всех сил понять их аналитически, когда его поразило неожиданное геометрическое вдохновение:

Как раз в это время я уехал из Кайена, где я тогда жил, чтобы отправиться в геологическую экспедицию при содействии Горной школы. Эти изменения поездки заставили меня забыть

мою математическую работу. Добравшись до Кутанса, мы сели в омнибус, чтобы отправиться в то или иное место. В тот момент, когда я поставил свою ногу на ступеньку, мне пришла идея, при этом ничто в моих предыдущих мыслях, видимо, не подготавливало ей почву, что преобразования, которые я использовал для определения функций Фукса, были идентичны преобразованиям неевклидовой геометрии.

[Пуанкаре (1918): перевод Хальстеда, 1929, с.387]

Открытие лежащей в основе геометрии (и топологии, которое вскоре последовало) выразило функции Фукса совершенно в новом свете, скорее как освещение эллиптических функций открытием Римана, что они принадлежали тору. В течение следующих нескольких лет Пуанкаре лихорадочно работал над развитием своих идей, в дружеском соревновании с Клейном. Его стилю присущи были некоторые оговори! (не хватало дисциплинированности и строгости, тем не менее, он весьма удобочитаем), но его великолепие не оспаривалось. Его назначили на кафедру в Париже в 1881 году, и он оставался там, заслуживая всегда более высокие почести, до конца своей жизни. В 1881 году он женился на Луизе Пулен; у них был сын и три дочери.

Труд Пуанкаре о функциях Фукса привел его в топологию, как мы видели в разделах 22.6 и 22.7. Тоже сделало другое его великое открытие, качественная теория дифференциальных уравнений. Он использовал эту теорию, которая рассматривает такие вопросы как долгосрочная устойчивость механических систем, в своих Les methodes nouvelles de la mecanique celeste (1892, 1893, 1899), вероятно, величайшем достижении в небесной механике со времен Ньютона. Топологические идеи Пуанкаре не только вдохнули новую жизнь в комплексный анализ и механику; они вылились в создание новой важной области, алгебраической топологии. В статьях с 1892 по 1904 год Пуанкаре построил арсенал методов и понятий, которые должны были непрестанно поддерживать движение топологов в течение следующих 30 лет. И лишь после того, как в 1933 году Гурвич открыл аналоги фундаментальной группы более высокой размерности, к арсеналу Пуанкаре добавилось новое важное оружие. Недавно, как говорилось в разделе 22.1, произошел возврат к геометрическим методам в топологии. Он был бы уместен, если бы эти методы, наконец, преуспели в разрешении главной нерешенной задачи, оставленной Пуанкаре, так называемой гипотезы Пуанкаре. Гипотеза утверждает, что 3-сфера (пространство, полученное

завершением точкой в бесконечности, как завершена плоскость до обыкновенной сферы в разделе 15.5) — единственное замкнутое трехмерное пространство, фундаментальная группа которого тривиальна.

Пуанкаре, возможно, был последним математиком, который имел общее понимание всех разделов математики. Как Эйлер, он писал бегло и обильно о всех частях математики, и, фактически, он превзошел Эйлера в написании популярных трудов. Он написал много томов о науке и ее философии, которые были бестселлерами в начале этого века. Пуанкаре, возможно, был бы также плодовит как Эйлер, если бы не его плохое здоровье после пятидесяти лет. В 1911 году он предпринял необычный шаг, опубликовав незаконченную статью о периодических решениях задачи трех тел, считая он может не дожить, чтобы завершить доказательство. Последняя теорема Пуанкаре была на самом деле по-прежнему открыта, когда он умер в 1912 году, но доказательство было завершено в 1913 году американским математиком Г. Д. Биркгофом.