22.151. Декарт и Гаусс-Бонне

Первая теорема в рукописи Декарта — замечательное утверждение об общей «кривизне» выпуклого многогранника, сначала не представляется имеющей какое-то топологическое значение. Это пространственный аналог очевидной теоремы о том, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна Последнюю теорему можно интуитивно

увидеть, рассмотрев полный поворот линии, которая перемещается вокруг многоугольника (рисунок 22.4).

Рисунок 22.4: Полный поворот вокруг многоугольника На рисунке 22.5 показано другое доказательство, которое обобщается до многогранников.

Рисунок 22.5: Сложение секторов, ограниченных нормалями В каждой вершине построим сектор единичного круга, ограниченный нормалями к двум ребрам в этой вершине. Ясно, что угол сектора равняется внешнему углу в этой вершине. К тому же, смежные стороны смежных секторов перпендикулярны одному и тому же ребру, следовательно, параллельны, поэтому сектора можно совместить друг с другом, чтобы образовать полный диск, с общим углом (окружностью)

Для того чтобы обобщить это до многогранников, определим, что внешний пространственный угол в каждой вершине есть (площадь) сектор единичного шара, ограниченного плоскостями, нормальными к ребрам в (рисунок 22.6). Как прежде, смежные стороны смежных секторов параллельны, следовательно, сектора можно совместить друг с другом, чтобы образовать полный шар, с общим пространственным углом (площадью) Декарт только утверждал, что общий внешний пространственный угол равен даже не определяя внешний пространственный угол. Упомянутое выше доказательство основывается на реконструкции Пойя (1954а).

Рисунок 22.6: Внешний пространственный угол Теорема о многоугольниках имеет аналог для простых замкнутых гладких кривых а именно, (раздел 17.2). Это заставляет нас поинтересоваться, имеет ли теорема Декарта аналог для гладких замкнутых выпуклых поверхностей скажем, где гауссова кривизна. Это так, и, на самом деле, благодаря Гауссу (1827) имеется доказательство, похожее на доказательство для многогранника, где, тем не менее, используется еще одна характеристика гауссовой кривизны.

Если мы возьмем небольшой геодезический многоугольник на поверхности У, то «полную кривизну» части можно представить «внешним пространственным углом» ограниченным параллелями к нормалям к вдоль сторон № (рисунок 22.7). Гаусс показал, что мера площадь, которую она вырезает из единичной сферы — равна Но также ясно, по параллелизму смежных сторон смежных внешних пространственных углов что углы соответствующие разбиению 5? геодезическими многоугольниками ,

совпадают друг с другом, чтобы образовать полный шар. Следовательно,

Рисунок 22.7: Пространственный угол полной кривизны Это «глобальная» форма теоремы Гаусса-Бонне. Когда в 1860 году была впервые опубликована теорема Декарта, теорема Гаусса-Бонне была уже известна, и аналогию между ними заметил Бертран (1860). Бертран, однако, сделал оговорку, что «прекрасную концепцию Гаусса никоим образом нельзя рассматривать как следствие концепции Декарта». Это может быть истинным в узком смысле; тем не менее, теоремы Декарта и Гаусса-Бонне можно рассматривать как предельные случаи друг друга. Декарт, концентрируя кривизну поверхности в вершинах, пока она не станет многогранником, в то время как Декарт Гаусс-Бонне, увеличивая количество вершин многогранника, пока он не станет гладкой поверхностью. Интересно, хотя, вероятно, случайно, что Декарт на самом деле использует слово «curvatura» чтобы описать внешний пространственный угол.