8.49. Проективная геометрия Дезарга
Математическое окружение, в котором можно понять вуаль Альберти, — семейство линий («лучи света»), проходящее через точку («глаз»), вместе с плоскостью V («вуалью») (Рисунок 8.8). В этом окружении задачи перспективы и анаморфозы не очень трудны, но понятия были интересны и явились вызовом традиционной геометрической мысли. Вопреки Евклиду имеем следующее:
1) Точки в бесконечности («точки схода»), где параллели пересекаются.
2) Преобразования, которые изменили длины и углы (проекции).
Рисунок 8.8.: Вйдение через вуаль Альберти
Первый, кто построил математическую теорию, объединяющую эти идеи, был Дезарг (1591-1661), хотя идея точек в бесконечности уже использовалась Кеплером (1604), с. 93. Книге Дезарга (1639) Brouillon projet dune atteinte aux evenements des rencontres du cone avec un plan (Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью) претерпела крайний случай запоздалого признания, оказавшись полностью утраченной в течение 200 лет. К счастью, его две самые известные теоремы, так называемая теорема Дезарга и инвариантность двойного (сложного) отношения, были опубликованы в книге о перспективе [Босс (1648)]. Текст Дезарга (1639) и часть работы Босса (1648), включая теорему Дезарга, можно найти у Тейтона (1951). Английский перевод, с обширным историческим и математическим анализом, есть у Филда и Грея (1987).
Как Кеплер, так и Дезарг, оба постулировали одну точку в бесконечности на каждой линии, замыкающую линию в «круг бесконечного
радиуса». Все линии в семействе параллелей разделяют одну и ту же точку в бесконечности. Непараллельные линии, имеющие конечную общую точку, не имеют одной и той же точки в бесконечности. Таким образом, любые две отдельные линии имеют как раз одну общую точку, — более простая аксиома, чем у Евклида. Довольно странно, но линия в бесконечности была введена лишь в теории Понселе (1822), несмотря на то, что самая очевидная линия в рисовании перспективы, — горизонт. Дезарг широко использовал проекции в Brouillon projet; именно он первый использовал их, чтобы доказать теоремы о конических сечениях.
Теорема Дезарга — это свойство треугольников в перспективе, проиллюстрированное на рисунке 8.9. Теорема утверждает, что точки 
на пересечениях соответствующих сторон лежат на одной линии. Это очевидно, если треугольники находятся в пространстве, поскольку линия — это пересечение плоскостей, их содержащих. Теорема в плоскости, тонко, но фундаментально отличается, и требует отдельного доказательства, как понял Дезарг. Действительно, то, что теорема Дезарга играет ключевую роль в основах проективной геометрии, показано Гильбертом (1899) (см. раздел 20.7)
Рисунок 8.9: Теорема Дезарга
Инвариантность двойного отношения отвечает на естественный вопрос, который впервые задал Альберти: поскольку длина и угол при проекции не сохраняются, то что же? Ни одно свойство трех точек, находящихся на одной линии, не может быть инвариантным, потому что можно спроектировать любые три точки на одной линии на три любые другие (упражнение 8.3.1). Поэтому необходимы, по крайней мере, четыре точки, и двойное отношение, в сущности, проективный вариант четырех точек. Двойное отношение 
точек 
на одной линии (в таком порядке) — это 
Его инвариантность наиболее просто видна, если выразить ее еще раз в понятиях углов, используя рисунок 8.10. Пусть О любая точка, не принадлежащая линии, и рассмотрим области треугольников 
и 
Сначала вычислим их из основ на 
и высоты 
затем вычислим вновь, используя 
и 
как основы, и высоты, выраженные на основе синусов
углов в О:
Подставив значения 
и 
из этих уравнений, мы находим [следуя Мебиусу (1827)] двойное отношение углов в точке О:
Любые четыре точки 
в перспективе с 
из точки О имеют одинаковые углы (рисунок 8.10), следовательно, они будут иметь одинаковое двойное отношение. Но тогда его также будут иметь любые четыре точки, 
проективно связанные с 
поскольку проективность, по определению, результат последовательности перспектив.
Рисунок 8.10: Оценка двойного отношения
Упражнения
(см. скан)
