Глава 2. Греческая геометрия

2.8. Дедуктивный метод

Ему было сорок лет, прежде чем он обратился к Геометрии; что произошло случайно. Находясь в Библиотеке Джентльмена, «Начала» Евклида лежали открытыми, и это был Он прочитал Теорему. Ей- Б - воскликнул он (иногда он, бывало, выразительно божился ради резкости), это невозможно! Поэтому он читает ее Доказательство, которое направило его назад к такой Теореме; такую теорему он читал. Что направило его опять к еще одному, которое он также прочитал,... что, наконец, он был доказательно убежден в ее истинности. Это заставило его полюбить Геометрию.

Эта цитата о философе Томасе Гоббсе (1588-1679) из Кратких жизнеописаний (Brief Lives) Обри прекрасно схватывает силу самого важного вклада греков в математику: дедуктивного метода. (Упомянутая теорема, между прочим, — это теорема Пифагора.)

Мы уже видели, что важные результаты были известны до эпохи классической Греции, но именно греки первыми создали математику посредством заключений из ранее установленных результатов, основывающуюся, в конечном итоге, на наиболее очевидных возможных утверждениях, называемых аксиомами. Считается, что основоположником этого метода был Фалес (624-547 гг. до н. э.) [см. Хит (1921), с. 128], и к 300 г. до н. э. он стал настолько сложным, что Начала Евклида установили стандарт математической строгости до девятнадцатого столетия. Начала были, в сущности, слишком тонки для большинства математиков, не говоря уже об их студентах, так что со временем их свели к самым простым и сухим теоремам о прямых линиях, треугольниках и кругах. Эта часть Начал основана на следующих аксиомах [в переводе Хита (1925), с. 154], которые Евклид называл постулатами или общими понятиями.

Постулаты

Пусть мы постулируем следующее:

1. Провести прямую линию из всякой точки во всякую точку.

2. Создать конечную прямую линию непрерывно в прямой линии.

3. Описать круг со всяким центром и расстоянием.

4. Что все прямые углы равны друг другу.

5. Что, если прямая линия, падающая на две прямые линии, образует внутренние углы с одной и той же стороны меньше, чем два прямых угла, то две прямые линии, если продолженные неограниченно, встретятся на той стороне, на которой углы меньше, чем оба прямых угла.

Общие понятия

1. Вещи, которые равны одной и той же вещи, также равны друг другу;

2. Если равные складываются с равными, целые равны.

3. Если равные вычитаются из равных, остатки равны.

4. Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.

5. Целое больше, чем часть.

По-видимому, Евклид намеревался вывести геометрические теоремы из визуально очевидных утверждений (постулатов), используя очевидные принципы логики (общие понятия). Фактически, он часто невольно использовал визуально правдоподобные допущения, которых не было среди его постулатов. В его самой первой теореме использовалось незаявленное допущение, что два круга пересекаются, если центр каждого находится на окружности другого [Хит (1925), с. 242]. Тем не менее, подобные упущения не замечали до девятнадцатого века, и их исправил Гильберт (1899). Самих по себе, их, вероятно, было бы недостаточно, чтобы завершить 22-вековое использование Начал в качестве ведущего учебника. Начала были свергнуты в девятнадцатом веке более серьезными математическими переворотами. Так называемые неевклидовы геометрии, использующие альтернативные гипотезы пятому

постулату Евклида (аксиоме о параллельных), выросли до момента, когда старые аксиомы больше нельзя было рассматривать как самоочевидные (см. главу 18). В то же самое время, понятие числа созрело до момента, когда иррациональные числа стали приемлемыми, и несомненно, предпочтительнее интуитивных геометрических понятий, ввиду сомнений насчет того, чем действительно являлись самоочевидные истины геометрии.

Итогом явился легче приспосабливаемый язык геометрии, в котором «точки», «линии» и т. п. можно было определить, как правило, на основе чисел, с тем чтобы они соответствовали типу исследуемой геометрии. Такое развитие давно назрело, потому что даже во времена Евклида греки исследовали кривые, более сложные, чем круги, которые не вписывались удобно в евклидову систему. Декарт (1637) ввел метод координат, который дает единую основу для обращения как с евклидовой геометрией, так и с кривыми более высокого порядка (см. главу 7), но, на первых порах, не осознавали, что координаты позволяли полностью перестроить геометрию на численных основах.

Сравнительно тривиальный шаг (для нас) перехода от аксиом о точках к аксиомам о числах вынужден был ожидать девятнадцатого столетия, когда геометрические аксиомы о точках потеряли авторитет, а теоретико-числовые аксиомы его получили. Мы подробнее расскажем об этих разработках позже (и о задачах с авторитетом аксиом, вообще, которые возникли в двадцатом веке). В остальной части этой главы мы ознакомимся с некоторыми важными непростыми темами греческой геометрии, используя там, где это удобно, координатную основу.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)