11.72. Последняя теорема Ферма

С другой стороны, невозможно записать куб как сумму двух кубов или записать четвертую степень как сумму двух четвертых степеней или, вообще, любое число, степень которого выше второй, записать как сумму двух одинаковых степеней. У меня есть поистине изумительное доказательство этой теоремы, однако это поле слишком узкое, чтобы поместить его.

[Ферма (1670), с. 241]

Это замечание, написанное на полях своего экземпляра труда Баше Диофант, когда он изучал его в конце 1630-х второй пункт в Паблюдениях о Диофанте Ферма, опубликованных посмертно в 1670 году. Ферма отвечал на трактовку Диофантом задачи выражения квадрата как суммы двух квадратов. Как мы видели в главе 1, это задача нахождения пифагоровых троек или, что то же самое, нахождения рациональных точек на круге

Последняя теорема Ферма, утверждение, что не существует троек положительных целых чисел, так что

стала самой известной задачей в математике. Многие математики вносили решения для частных значений Эйлер для сам Ферма для (см. следующий раздел), Лежандр и Дирихле для Ламе для Куммер для всех простых кроме 37, 59, 67. Детальное описание этих ранних результатов можно найти у Эдуардса (1977). Конечно, достаточно доказать теорему для простых показателей степени, поскольку контрпример

для непростого показателя степени где простое число, также будет контрпримером

для простого показателя степени

После Куммера значительных успехов не было сделано до 1980-х когда открылись два новых подхода. Фолтингс (1983) показал, что для каждого показателя степени имеется максимально конечное число контрпримеров к последней теореме Ферма. Это следствие гораздо более общей теоремы Фолтингса, разрешающей гипотезу Морделля (1922), что каждая кривая рода имеет максимально конечное число рациональных точек. Понятие рода объясняется в главе 15. В данный момент мы отметим только, что «кривая Ферма»

имеет 0-й род, когда род, когда и род в противном случае. Таким образом, теорема Фолтингса показала, что кривая Ферма могла иметь максимально конечное число рациональных точек (и, следовательно, мог иметь максимально конечное число целочисленных решений) в случаях, еще нерешенных.

Второй подход введен Фреем (1986), который сделал удивительное предположение, что контрпример к последней теореме Ферма мог повлечь за собой нечто невозможное относительно кубической кривой

Вместе с тем, лишь предполагалось, что рассматриваемое свойство, которое называется немодулярностью, невозможно, и было также неизвестно, влечет ли ее за собой контрпример к последней теореме Ферма. Однако Рибе (1990) доказал, что контрпример влечет за собой немодулярность, и в 1994 году Эндрю Уайлс доказал, что немодулярность невозможна для кубических кривых указанной формы. Поэтому контрпример к последней теореме Ферма не может существовать.

В этой заключительной главе в истории последней теоремы Ферма произошел драматический поворот, потому что Уайлс впервые объявил о своем результате в 1993 году (после семи лет работы над ним в уединении), только, чтобы через несколько месяцев обнаружить, что в его доказательстве был серьезный пробел. Однако с помощью Ричарда Тейлора этот пробел был заполнен в 1994 году, и полное доказательство опубликовано Уайлсом (1995). Доказательство чрезвычайно

сложное, но мы можем, по крайней мере, объяснить его общую трактовку кубических кривых и эллиптических функций; несомненно, это важные нити, проходящие через всю эту книгу.