3.15. Многоугольные, простые и совершенные числа
Многоугольные числа, которые изучали пифагорейцы, вытекают из наивного переноса геометрических идей в теорию чисел. Из рисунка 3.1 легко вычислить выражение для 
-угольного числа как сумму определенных арифметических рядов (упражнение 3.2.3) и показать, например, что квадрат есть сумма двух треугольных чисел. Не считая труда Диофанта, который включает впечатляющие результаты по суммам квадратов, результаты греков по многоугольным числам были такого элементарного рода.
Рисунок 3.1: Многоугольные числа Треугольные числа Квадратные числа Пятиугольные числа
В целом, греки, по-видимому, ошибались, придавая столь важное значение многоугольным числам. О них нет значительных теорем, за исключением, пожалуй, следующих двух. Первая — теорема, о которой сделал предположение Баше де Мезериак (1621) (в своем издании трудов Диофанта), что каждое положительное целое число есть сумма четырех целых квадратов. Это доказал Лагранж (1770). Обобщение, которое Ферма (1670) сформулировал без доказательства, — что каждое положительное целое число есть сумма 
-угольных чисел. Это доказано Коши (1813), хотя доказательство немного недостаточно, потому что все числа, кроме четырех, могут быть 
или 1. Краткое доказательство теоремы Коши дано Натансоном (1987). Другая замечательная теорема о многоугольных числах — формула
доказанная Эйлером (1750) и известна как теорема Эйлера о пятиугольных числах, поскольку экспоненты 
пятиугольные числа. [Доказательство см.: Холл (1967), с. 33.]
(Как теорему о четырех квадратах, так и теорему о пятиугольных числах около 1830 года поглотила теория Якоби о тета-функциях, гораздо более широкая теория.)
Нростпые числа также рассматривались в геометрических рамках, как числа, не имеющие прямоугольного представления. Простое число, не имеющее делителей кроме себя самого и 1, имеет только «линейное» представление. Конечно, это ничто иное, как новая формулировка
определения простого числа, а большинство теорем о простых числах требуют гораздо более мощных идей; однако греки действительно вырастили одну жемчужину. Это доказательство, что имеется бесконечное множество простых чисел, в Книге IX Начал Евклида.
При заданной любой конечной совокупности простых чисел 
мы можем найти еще одну, рассмотрев
Это число неделимо на 
(каждое дает остаток 1). Отсюда, либо само 
простое число, и 
либо оно имеет простой делитель 
Совершенное число — это число, которое равняется сумме своих делителей (включая 1, но исключая самого себя). Например, 
совершенное число, как и 
Хотя это понятие восходит к пифагорейцам, известны лишь две заслуживающие внимание теоремы о совершенных числах. Евклид завершает Книгу IX Начал, доказав, что если 
простое число, то 
совершенное (упражнение 3.2.5). Эти совершенные числа, конечно, четные, и Эйлер (1849) (посмертная публикация) доказал, что каждое четное совершенное число имеет евклидов вид. Удивительно простое доказательство Эйлера можно найти у Бертона (1985), с. 504. Неизвестно, есть ли какие-либо нечетные совершенные числа; может быть, это старейшая открытая задача в математике.
В силу теоремы Эйлера, существование четных совершенных чисел зависит от существования простых чисел вида 
Они известны как простые числа Мерсенна, в честь Марена Мерсенна (1588-1648), который первым привлек внимание к проблеме принятия простых чисел этого вида. Неизвестно, существует ли бесконечное множество чисел Мерсенна, хотя, по-видимому, все бблыние числа находят довольно постоянно. В последние годы любое новое всемирно зафиксированное простое число было простым числом Мерсенна, давая соответствующее всемирно зафиксированное совершенное число.
Упражнения
(см. скан)
