15.100. Комплексная проективная линия
В разделе 8.5 мы видели, что добавление точки в бесконечности к действительной линии 
образует замкнутую кривую, которая качественно похожа на круг. Несомненно, действительная проективная линия в модели сферы действительной проективной плоскости 
имеет почти такие же геометрические свойства, как большой круг на сфере, после того, как учитывается тот факт, что антиподальные точки на сфере — это та же точка на 
Ситуация с комплексной «линией» С похожа, но ее труднее мысленно представить. С — уже двумерна, как мы видели в доказательстве Гаусса основной теоремы алгебры, следовательно, комплексная «плоскость» 
- четырехмерна, и ее практически невозможно мысленно представить.
Для того чтобы избежать экскурса в четырехмерное пространство, мы сначала изменим наш подход к действительной проективной линии. В разделе 8.5, мы рассмотрели обыкновенные линии 
в горизонтальной плоскости, не проходящей через начало координат, и продлили каждую до проективной линии, «точки» которой — линии, проходящие через начало координат О в плоскости, проходящей через 
Негоризонтальные линии в этом семействе соответствуют точкам 
а горизонтальная линия в семействе — точке в бесконечности 
Сейчас мы используем это построение снова, чтобы непосредственно продемонстрировать качественную, или точнее топологическую, эквивалентность между проективной линией и кругом (рисунок 15.3).
Рисунок 15.3: Действительная проективная линия
Считается, что начало координат 
наивысшая точка круга, который в самой нижней точке касается нашей линии 
Между линиями, проходящими через 
и точками круга есть непрерывное взаимно однозначное соответствие. Каждая негоризонтальная линия соответствует своему пересечению 
с кругом, тогда как горизонтальная линия соответствует самому 
Поэтому проективное завершение 
которому мы сейчас присваиваем имя 
топологически такое же, как у круга, в том смысле, что между ними есть непрерывное взаимно однозначное соответствие. Более того, мы можем понимать проективное завершение 
топологически, как процесс добавления одной «точки», которая «приближается» по мере того, как стремишься к бесконечности в любом направлении вдоль 
ибо когда х стремится к бесконечности в любом направлении, х стремится к той же точке 
на круге.
Теперь мы можем рассмотреть проективное завершение С таким же образом, используя рисунок 15.4, который показывает так называемую стереографическую проекцию плоскости С на сферу. Каждая точка 
проектируется на точку z на касательной сфере 
лучом, проходящим через 
и северный полюс 
на 
Это устанавливает непрерывное взаимно однозначное соответствие между точками 
на С и точками 
на 
Более того, по мере того, как 
стремится
к бесконечности в любом направлении, z стремится к 
следовательно, проективное завершение 
плоскости С — топологически такое же, как полная сфера 
с точкой в 
соответствующей 
Рисунок 15.4: Комплексная проективная линия
Поскольку для комплексного анализа хочется завершить С точкой 
этим способом, переходу от С к 
послужили и геометрия, и анализ. Видимо, Гаусс первый оценил по достоинству преимущества 
над С, поэтому в анализе 
часто называют сферой Гаусса. [К сожалению, видимо, сохранились лишь несколько неопубликованных, недатированных фрагментов работы Гаусса на эту тему; см. Гаусс (1819)]. Геометры-алгебраисты называют 
(комплексной) проективной линией, поскольку она — формальный эквивалент действительной линии, даже если топологически она является поверхностью. Подобным же образом, комплексные кривые топологически являются поверхностями, известными аналитикам, как Римановы поверхности, хотя геометры-алгебраисты предпочитают называть их «кривыми».
Взгляд как на «поверхность» полезен при изучении внутренних свойств комплексных кривых. Например, род (введенный в связи с параметризацией в разделах 
оказывается имеет очень простое значение в топологии поверхностей (см. раздел 15.4). С другой стороны, взгляд как на «кривую» полезен при изучении пересечений кривых и их вложения в 
или ее проективного завершения 
Вместо того, чтобы пытаться представить себе, например, как две плоскости пересекаются в одной точке 
лучше представить себе пересечение как аналогичное пересечению действительных линий в действительной плоскости, — как единственное решение двух линейных уравнений. В конце концов, мы работаем с С, чтобы устранить аномалии, которые встречаются в 
а не ради того, чтобы сделать нечто иное, и мы ожидаем, что многое в поведении действительных кривых повторится с комплексными.
Упражнения
(см. скан)
