12.79. Эллиптические интегралы

Интегралы вида где рациональная функция и многочлен 3-й или 4-й степени без кратных множителей, называются эллиптическими интегралами, потому что первый пример встречается в формуле для длины дуги эллипса. (Функции, полученные обращением эллиптических интегралов называются эллиптическими функциями, а кривые, которые требуют эллиптических функций для своей параметризации, называются эллиптическими кривыми. Такой дрейф значения «эллиптический» довольно неудачен, потому что эллипс, поддающийся параметризации рациональными функциями, не является эллиптической кривой!)

Эллиптические интегралы появляются во многих важных задачах геометрии и механики, например, как длины дуги эллипса и гиперболы,

периода простого маятника и деформации тонкого упругого стержня [см. главу 13 и, например, Мельзак (1976), стр. 253-269]. Когда в конце семнадцатого века впервые возникли эти задачи, они поставили первое препятствие перед программой Лейбница интегрировать в «конечной форме» или «элементарными функциями». Как говорилось в разделе 9.6, Лейбниц считал, что правильным решением задачи интегрирования будет известная функция так что Функции тогда «известные», и которые сейчас называются «элементарными», — это функции, составленные из алгебраических, круговых и показательных функций и обратных им.

Все попытки выразить эллиптические интегралы в этих понятиях провалились, и еще в 1694 году Якоб Бернулли предположил, что задача была невозможной. Догадку, в конечном счете, подтвердил Лиувилль (1833), в ходе доказательства, что большой класс интегралов неэлементарен. Тем временем, математики открыли столь много свойств эллиптических интегралов и эллиптических функций, полученных из них обращением, что их можно было считать известными, если даже не элементарными.

Ключ, который открыл множество секретов эллиптических интегралов, — кривая, известная как лемниската Бернулли (рисунок 12.1). Эта кривая кратко упоминалась в разделе 2.5 как одно из спирических сечений Персея. Она имеет декартово уравнение

и полярное уравнение

Рисунок 12.1: Лемниската Бернулли

Первый, кто рассмотрел ее как самостоятельную кривую, был Якоб Бернулли (1694). Он показал, что длина ее дуги выражается эллиптическим интегралом впоследствии известным как лемнискатный интеграл, и, таким образом, он дал этому формальному выражению конкретную геометрическую интерпретацию. Многие более поздние разработки в теории эллиптических интегралов и функций выросли из взаимосвязи между лемнискатой и лемнискатным интегралом. Будучи простейшим эллиптическим интегралом, или, во всяком случай, самым аналогичным интегралу арксинуса лемнистатный интеграл был самым поддающимся манипуляциям. Часто после извлечения некоторого свойства из

лемнискатного интеграла можно было расширить аргумент до более общих эллиптических интегралов.

Самым заметным примером этой методологии было открытие теорем сложения, которые мы обсуждаем в следующем разделе.

Упражнения

(см. скан)