Глава 17. Дифференциальная геометрия

17.111. Трансцендентные кривые

В главе 9 мы видели, что развитию исчисления в семнадцатом веке значительно способствовали задачи в геометрии кривых. Дифференцирование выросло из методов построения касательных, а интегрирование выросло из попыток найти площади и длины дуг. Исчисление не только открыло секреты классических кривых и алгебраических кривых, определенных Декартом; оно также расширило понятие самой кривой. Как только появилась возможность с точностью оперировать наклонами, длинами и площадями, также появилась возможность использовать эти величины для определения новых, неалгебраических кривых. Именно эти кривые Декарт назвал «механическими» (разделы 7.3 и 13.3), а Лейбниц «трансцендентными». В противоположность алгебраическим кривым, которые можно было изучать в некоторой глубине чисто алгебраическими методами, трансцендентные кривые были неотделимы от методов исчисления. Поэтому неудивительно, что новая совокупность геометрических идей, идей «бесконечно малых» или дифференциальной геометрии, сначала возникла из исследования трансцендентных кривых.

Еще более удивительным побочным продуктом трансцендентных кривых было первое решение старой задачи о длине дуги. Задачу впервые поставили для алгебраической кривой, круга, греки, и в этом случае она эквивалентна задаче о площади («квадратуре круга»), поскольку и площадь, и длина дуги круга зависят от оценки числа Как мы знаем, это трансцендентное число (раздел 2.3), поэтому задача о длине дуги круга не имеет решения посредством элементарных средств, которые признавали греки. Первая кривая, длину дуги которой смогли найти с помощью элементарных средств, была открыта Гарриотом около 1590 года. Эта кривая, определенная полярным уравнением

известна как логарифмическая или равноугольная спираль.

Гарриот не знал показательной функции, а кривую знал лишь по ее свойству равноугольности, которое заключается в том, что касательная образует постоянный угол (зависящий от к) с радиус-вектором. [Спираль появилась в его исследованиях по навигации и картографическим проекциям (раздел 16.2) как проекция локсодромы на сферу (рисунок 17.1). Локсодрома — это кривая, которая пересекает меридианы с постоянным углом; на практическом языке, она представляет курс корабля, плывущего в заданном компасом направлении.]

Рисунок 17.1: Локсодрома и ее проекция

Не имея инструментов исчисления, Гарриот вынужден был полагаться на остроумную геометрию и простую аргументацию о пределах. Его построение проиллюстрировано на рисунке 17.2 [из Лоне (1979), с. 273]. Спираль с углом 55° аппроксимируется многоугольником со сторонами которые дают треугольники если их связать с началом отсчета можно снова собрать, чтобы образовать треугольник площадь которого, поэтому, равняется площади спирали (когда складываются друг с другом площади перекрывающихся витков). К тому же

Когда выполняется аппроксимация с более короткими сторонами но в остальном тагам же образом, в результате имеем тот же самый треугольник равнобедренный треугольник с основанием а и углами при основании 55°. Следовательно, мы также нашли длину и площадь гладкой кривой.

Рисунок 17.2: Построение площади спирали

Работа Гарриота не была опубликована, и длину дуги равноугольной спирали заново открыл Торричелли (1645). Постепенно задачу о длине дуги стали понимать более систематически, как задачу интегрирования, хотя, как правило, довольно трудно разрешимую. Первым решением для алгебраической кривой было решение для «полукубической параболы» Нейла и Гейрэта в 1657 году. Вскоре после этого Рен решил задачу для циклоиды, и его решение было приведено Валлисом (1659). Замечательная особенность результата Рена заключалась в том, что длина одной дуги циклоиды — рациональное кратное (а именно, 4) диаметра образующего круга.

Как говорилось в разделе 13.3, другие необычные свойства циклоиды связаны с механикой, одно из них будет вновь интерпретировано

геометрически в следующем разделе. Одна трансцендентная кривая, которую мы не обсуждали в связи с механикой, — трактриса Ньютона (1676b). Ньютон определил эту кривую по свойству, что длина ее касательной от точки касания до -оси постоянна (рисунок 17.3). Отсюда следует, что кривая удовлетворяет

где обозначает длину дуги. Используя можно решить это дифференциальное уравнение, чтобы дать

уравнение для данной кривой Гюйгенса (1693b) на более геометрическом языке. Гюйгенс указал, что кривую можно интерпретировать как траекторию камня, пущенного тетивой длины а (отсюда название «трактриса»). Поэтому трактриса тоже имеет некоторое механическое значение. Действительно, ее можно построить на основе известной механической кривой, цепной линии, методом, который мы рассмотрим в следующем разделе. Однако, ее важнейшая роль заключалась в образовании псевдосферы, поверхности, обсуждаемой в разделе 17.4. Рисунок 17.3: Трактриса

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)