1.6. Определение расстояния
Численная интерпретация иррациональных чисел задает каждой длине численную меру и, следовательно, делает возможным задание координат х,у каждой точке 
на плоскости. Простейший способ — взять пару перпендикулярных линий (осей) 
и допустить, что х,у являются длинами перпендикуляров от 
до 
и 
соответственно (рисунок 1.10). Геометрические свойства 
отражаются тогда арифметическими соотношениями между 
Это открывает возможность аналитической геометрии, развитие которой обсуждается в главе 7. Здесь мы хотим лишь посмотреть, как координаты задают точное значение основному геометрическому понятию расстояния.
Рисунок 1.10: Перпендикулярные оси
Мы уже говорили, что перпендикулярные расстояния от 
до осей — это числа х,у. Расстояние между точками на одном и том же перпендикуляре к оси следует, поэтому, определять как разность между соответствующими координатами. На рисунке 1.11 это 
для 
и 
для 
Но в таком случае теорема Пифагора говорит нам, что расстояние 
задано
То есть
Поскольку это построение применяется к произвольным точкам 
в плоскости, мы теперь имеем общую формулу для расстояния между двумя точками.
Рисунок 1.11: Определение расстояния
Мы вывели эту формулу так следствие геометрических допущений, в частности, теоремы Пифагора. Хотя это делает геометрию поддающейся арифметическому вычислению, — несомненно, очень полезная ситуация, — это не говорит о том, что геометрия является арифметической. На заре аналитической геометрии последняя была весьма еретической точкой зрения (см. раздел 7.6). В конечном счете, однако, Гильберт (1899) осознал, что принятие (1) в качестве определения расстояния могло стать фактом. Конечно, все другие геометрические понятия следует тоже определить на основе чисел, но это сводится к определению точки, которая есть просто упорядоченная пара (х,у)
чисел. Уравнение (1), в таком случае, задает расстояние между точками 
и 
Когда геометрия перестраивается тагам образом, все геометрические факты становятся фактами касательно чисел (хотя их не обязательно будет легче увидеть). Теорема Пифагора становится истинной по определению, поскольку она встроена в определение расстояния. Это не должно говорить о том, что теорема Пифагора, в конечном счете, тривиальна. Скорее, это показывает, что теорема Пифагора является именно тем, что необходимо, чтобы интерпретировать арифметические факты как геометрию.
Я упоминаю эти более поздние разработки лишь для того, чтобы дополнить теорему Пифагора в соответствии с новыми данными и дать точное изложение ее влияния на трансформацию арифметики в геометрию. Во времена античной Греции геометрия основывалась гораздо больше на видении, нежели на вычислении. В следующей главе мы увидим, как грекам удалось построить геометрию на основе визуально очевидных фактов.
Упражнения
(см. скан)
