Глава 22. Топология
22.148. Геометрия и топология
Топология касается тех свойств, которые остаются инвариантными в процессе непрерывных преобразований. В контексте Эрлангенской программы Клейна (где она кратко упоминается под своим старым названием analysis situ) - это «геометрия» групп непрерывных обратимых преобразований или гомеоморфизмов. «Пространство», к которому применяются преобразования, и, несомненно, значение «непрерывного» отчасти остаются открытыми. Когда эти термины интерпретируются самым общим образом, в зависимости только от определенных аксиом (которые мы не будем трудиться здесь формулировать), имеем общую топологию. Теоремы общей топологии, важные в областях от теории множеств до анализа, имеют не вполне геометрический оттенок. Геометрическая топология, которая интересует нас в этой главе, получается, когда преобразования — это обыкновенные непрерывные функции на Е или на некоторых подмножествах 
Геометрическая топология больше распознаваема «геометрически», чем общая топология, хотя «геометрия» обязательно дискретного и комбинаторного вида. Обычные геометрические величины, такие как длина, угол и кривизна, допускают непрерывное изменение и, следовательно, не могут быть инвариантными в процессе непрерывных преобразований. Тип величин, которые топологически инвариантны, это такие вещи, как число «участков» фигуры или «число» дыр в ней. Оказывается, тем не менее, что комбинаторные структуры топологии можно часто отразить комбинаторными структурами в обычной геометрии, тагами как многогранники и мозаики. В случае топологии поверхности, это геометрическое моделирование топологической структуры столь полное, что топология, по существу, становится частью обычной геометрии. «Обычная» здесь означает геометрию с понятиями длины, угла и кривизны, не обязательно евклидову геометрию.
Фактически, естественные геометрические модели большинства поверхностей гиперболичны.
Остается посмотреть, будет ли топология в целом когда-либо подчинена обычной геометрии. Предполагается, что это случай в трех измерениях, хотя ситуация до сих пор настолько осложнена, что ее трудно полностью разрешить [см. Терстон (1997) или Уикс (1985)]. Представляется, что здесь тоже самая важная геометрия именно гиперболическая. В четырех и более измерениях делать предположения было бы опрометчиво, хотя в недавних крупных достижениях геометрические методы были важны [например, Дональдсон (1983)]. В этой главе мы делаем вид, что добровольно ограничиваем свое обсуждение топологией поверхностей. Это единственная область, которая достаточно понятна и уместна, когда сравнивается со сведениями остальной этой книги. К счастью, эта область также достаточно богата, чтобы проиллюстрировать некоторые важные топологические идеи, по-прежнему оставаясь математически разрешимой и наглядной.
Мы начинаем обсуждение топологии поверхностей с ее исторической отправной точки, теории многогранников.
