6.34. Квадратные уравнения

Еще за 2000 лет до н. э. вавилоняне могли решать пары системы уравнений вида

которые эквивалентны квадратным уравнениям

Исходная пара решалась методом, который давал два корня квадратного уравнения:

когда оба были положительными (вавилоняне не признавали отрицательных чисел). Метод состоял из следующих шагов:

1) Составить

2) Составить

3) Составить

4) Составить

5) Найти х,у проверкой значений в 1), 4).

[Что касается реального примера, см. Бойер (1968), с. 34]. Конечно, эти шаги не выражались в символах, а применялись только к конкретным числам. Тем не менее, общий метод подразумевается во многих решенных частных случаях.

В явном виде общий метод, выраженный как формула словами, дан Брахмагуптой (628):

К абсолютному числу, умноженному четырежды на [коэффициент] квадрата, добавьте [коэффициент] среднего члена; квадратный корень того же самого, меньше [коэффициента] среднего члена, деленный дважды на [коэффициент] квадрата, есть значение.

[Коулбрук (1817), с. 346]

Это решение

уравнения

тем не менее, интересно, понимал ли его Брахмагупта именно таким образом, когда через несколько строк он дает еще одно правило, которое тривиально эквивалентно первому, когда выражено в наших обозначениях:

Методы вавилонян и Брахмагупты, несомненно, дают правильные решения, но их основа не ясна. Значение квадратных корней, например, не исследовалось так, как это делали греки. Строгую основу решения квадратных уравнений можно найти в Началах Евклида, Книга VI. Теорему 28 можно интерпретировать как решение общего квадратного уравнения в случае, где имеется положительный корень, как объясняет Хит (1925), т. 2, с. 263. Однако, алгебраическая интерпретация далека от очевидной, даже когда сужаешь теорему, которая о параллелограммах, до теоремы о прямоугольниках. Представляется маловероятным, что Евклид знал алгебру, или, что он выразил бы ее гораздо более простой геометрией.

Переход от геометрии к алгебре можно увидеть в решении квадратного уравнения аль-Хорезми (рисунок 6.1). Решение все еще выражено геометрическим языком, но теперь геометрия — это прямое воплощение алгебры. Это действительно стандартное алгебраическое решение, но с «квадратами» и «произведениями», понимаемыми буквально как геометрические квадраты и прямоугольники. Чтобы решить представим квадратом стороны двумя прямоугольниками как на рисунке 6.1. Дополнительный квадрат

площадью 25 «завершает квадрат» стороны до квадрата площадью поскольку 39 — заданное значение Таким образом, большой квадрат имеет площадь 64, следовательно, его сторона Это дает решение

Рисунок 6.1: Решение квадратного уравнения

Евклид и аль-Хорезми не признавали отрицательных длин, поэтому решение не появляется. Это вполне естественно, поскольку геометрия допускает только один квадрат с площадью 64. Избежание отрицательных коэффициентов вызывает, однако, некоторые неестественные алгебраические сложности. Здесь не одно общее квадратное уравнение, а три, соответствующие различным способам распределения положительных членов между двумя сторонами:

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)