17.115. Геодезические линии
«Прямую линию», или геодезическую, как ее называют, можно определить эквивалентно свойству кратчайшего расстояния или свойству нулевой кривизны. Определение кратчайшего расстояния исторически было первым, даже если оно математически глубже, и при условии неудобства, что геодезическая линия не обязательно кратчайший путь между двумя точками. На сфере, например, между двумя близкими точками 
есть две геодезические линии: меньшая часть и бблыная часть большого круга, проходящие через 
Мы можем охватить обе, сказав, что геодезическая дает кратчайшее расстояние между любыми двумя ее точками, которые находятся достаточно близко друг от друга. Говоря о кратчайшем расстоянии, даже между близкими точками 
по-прежнему имеем задачу вариационного исчисления: какая кривая от 
имеет минимальную длину. Тем не менее, именно так впервые были определены геодезические линии, Якобом и Иоганном Бернулли; и Эйлер (1728а), исходя из этого подхода, нашел дифференциальное уравнение для геодезических линий.
Более элементарный подход — определить геодезическую кривизну 
в 
кривой С на поверхности 
как обыкновенную кривизну ортогональной проекции С на касательную плоскость к 
Как можно ожидать, геодезическую кривизну также можно определить внутренне, и этим путем Гаусс (1825) ввел 
Тогда геодезическая — это кривая нулевой геодезической кривизны. Это определение Бонне (1848).
Последнее определение непосредственно показывает, что большие круги на сфере являются геодез и чески 
и линиями, поскольку их проекции на касательные плоскости — прямые линии. Другие примеры — горизонтальные линии, вертикальные круги и спирали на цилиндре (рисунок 17.9). Все они получаются из прямых линий на плоскости, которая свертывается, чтобы образовать цилиндр. Не все геодезические на псевдосфере и других поверхностях отрицательной кривизны столь просты для описания. Однако, следующая глава показывает, что они
становятся простыми, когда соответственно отображаешь поверхность постоянной отрицательной кривизны на плоскость. Рисунок 17.9: Геодезические на цилиндре
Упражнения
(см. скан)
