2.9. Правильные многогранники

Греческая геометрия поистине полная в том, что касается элементарных свойств плоских фигур. Достаточно сказать, что со времени Евклида была открыта лишь малая толика интересных элементарных теорем о треугольниках и кругах. Стереометрия требует гораздо больше усилий даже сегодня, поэтому понятно, почему греки оставили ее в менее завершенном состоянии. Тем не менее, они сделали несколько весьма впечатляющих открытий, и им удалось завершить одну из прекраснейших глав в стереометрии: перечисление правильных многогранников. Пять возможных правильных многогранников показаны на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1: Правильные многогранники

Куб

Тетраэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Каждый многогранник ограничен рядом равных многоугольных граней, то же количество граней пересевается в каждой вершине и в каждой грани все стороны и углы равны, отсюда термин правильный многогранник. Правильный многогранник — пространственная фигура, аналогичная правильному многоугольнику в плоскости. Но в то время как есть правильные многоугольники с любым количеством сторон правильных многогранников — всего лишь пять.

Этот факт легко доказывается, и, возможно, восходит к пифагорейцам [см., например, Хит (1921), с. 159]. Рассматриваем возможные многоугольники, которые могут существовать как грани, их углы и число их, которое может встретиться на вершине. Для -угольника (треугольника) угол составляет поэтому три, четыре или пять могут встретиться на вершине, но шесть не могут, поскольку это дало бы общий угол и вершина была бы плоской. Для -угольника угол поэтому, на вершине могут встретиться три, но не четыре. Для -уголь-ника угол поэтому на вершине могут встретиться три, но не четыре. Для -угольника угол поэтому на вершине не могут встретиться даже три. Но в каждой вершине многогранника должны пересекаться, по крайней мере, три грани, поэтому -угольники (и, так же, 7-угольники, 8-угольники,..., n-угольники) не могут встречаться в качестве граней правильного многогранника. Это оставляет только пять возможностей, только что перечисленных, которые соответствуют пяти известным правильным многогранникам.

Но действительно ли мы знаем, что эти пять существуют? С тетраэдром, кубом или октаэдром трудности нет, но не ясно, скажем, что 20 равносторонних треугольников будут соответствовать друг другу, чтобы образовать замкнутую поверхность. Евклид нашел эту задачу достаточно трудной, поместив ее почти в конец Начал, и немногие из его читателей когда-либо одолевали его решение. Прекрасное прямое построение дал Лука Пачоли, друг Леонардо да Винчи, в своей книге De divina proportione (О божественной пропорции) (1509). Построение Пачоли использует три копии золотого прямоугольника со сторонами соединяющимися, так на рисунке 2.2. 12 вершин определяют 20 треугольников, тагах как и этого достаточно, чтобы показать, что они равносторонние, т.е. Это прямое упражнение в теореме Пифагора (Упражнение 2.2.2).

Рисунок 2.2: Построение икосаэдра Пачоли

Правильные многогранники совершат еще один важный выход в связи с еще одной разработкой девятнадцатого столетия, теорией конечных групп и теорией Галуа. Прежде чем правильные многогранники совершили свое триумфальное возвращение, они также приняли участие в известном фиаско: теории планетарных расстояний Кеплера [Кеплер (1596)]. Теория Кеплера иллюстрируется его известным чертежом (рисунок 2.3) из пяти многогранников, вложенных таким образом, чтобы создать шесть сфер с радиусами, пропорциональными расстояниям до шести известных тогда планет. К сожалению, несмотря на то, что математики не могли позволить еще больше правильных

многогранников, природа смогла позволить больше планет, и теория Кеплера рухнула, когда в 1781 году был открыт Уран.

Рисунок 2.3: Чертеж многогранников Кеплера

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)