Глава 9. Исчисление
9.55. Что такое исчисление?
Исчисление возникло в семнадцатом веке как система сокращений результатов, полученных методом исчерпывания, и как метод открытия таких результатов. Типы задач, для которых исчисление оказалось подходящим, — отыскание длин, площадей и объемов кривых фигур и определение местных свойств, таких как тангенсы, нормали и кривизна, — короче, того, что мы ныне признаем задачами интегрирования и дифференцирования. Эквивалентные задачи, конечно, возникают в механике, где одна из величин время, вместо расстояния, следовательно, именно исчисление сделало возможной математическую физику, развитие которой мы рассмотрим в главе 13. Кроме того, исчисление, в конечном счете, связано с теорией бесконечного ряда, порождающей разработки, которые стали фундаментальными в теории чисел, комбинаторике и теории вероятностей.
В первом случае, необычный успех исчисления был возможен, потому что оно заменило длинные и тоньше аргументы исчерпывания краткими рутинными вычислениями. Как подсказывает название, исчисление состоит из правил для вычисления результатов, а не их логического обоснования. Математики семнадцатого века были знакомы с методом исчерпывания и допускали, что они всегда могли вернуться к нему, если их результаты вызывали сомнение, но поток новых результатов стал столь велик, что сделать это редко позволяло время. Как писал Гюйгенс (1659а), с. 337
У математиков никогда не будет достаточно времени прочитать все открытия в Геометрии (количество, которое увеличивается изо дня в день, и, видимо, в этот научный век, скорее всего, разовьется в огромные пропорции), если они дальше будут представлены в строгой форме в соответствии с методом древних.
Прогресс в геометрии, когда писал Гюйгенс, был действительно впечатляющим, учитывая, что тогда имелась очень простая система исчисления. Фактически все, что было известно — это дифференцирование и интегрирование степеней х (возможно дробных) и явное дифференцирование многочленов в х,у. Однако, в союзничестве с алгеброй и аналитической геометрией этого было достаточно, чтобы найти касательные, максимумы и минимумы всех алгебраических кривых. И при соединении с исчислением бесконечного ряда Ньютона, открытого в 1660-х годах, правила степеней х образовали завершенную систему дифференцирования и интегрирования всех функций, выразимых в степенных рядах.
Последующее развитие исчисления — приводящее в замешательство исключение из нормального процесса упрощения в математике. В настоящее время мы имеем гораздо менее элегантную систему, которая приуменьшает использование бесконечного ряда и усложняет систему правил дифференцирования и интегрирования. Правила дифференцирования по-прежнему полные, при условии, что задан разумный набор операций для построения функций, но правила интегрирования душераздирающе неполные. Они не достаточны, чтобы интегрировать простые алгебраические функции типа 
или даже рациональные функции с неопределенными константами типа 
Более того, только в последние десятилетия мы смогли сказать, какие алгебраические функции интегрируемы по нашим правилам. [Этот малоизвестный результат изложен Дейвенпортом (1981).]
Вывод из этого, по-видимому, таков, что кроме небольшого упрощения языка, мы не можем сделать исчисление проще, чем оно было в семнадцатом веке! Несомненно легче представить историю предмета, если мы воздержимся от наложения современных идей. Преимущество этого подхода также в том, что он подчеркивает чрезвычайно комбинаторную природу исчисления — в конце концов, он о вычислении. В свете текущей полемики об относительных достоинствах исчисления и комбинаторики, может быть, полезно вспомнить, что большая часть классической комбинаторики была частью алгебры рядов, и, следовательно, частью исчисления. Мы развиваем эту тему подробнее в следующей главе о бесконечном ряде.
Об истории исчисления написано много, и некоторые особенно полезные книги — это книги Бойера (1959), Барона (1969) и Эдуардса (1979). Однако историки стремятся надоедливо толковать о вопросе логического обоснования и тратить несоизмеримое количество времени на способ обращения с ним в девятнадцатом веке. Это не только
затушевывает смелость и силу раннего исчисления, но и слишком догматично о способе, которым следует обосновать исчисление. Несмотря на то, что обоснование уже было доступно в семнадцатом веке (метод исчерпывания), есть также обоснование двадцатого века [теория бесконечно малых Робинсона (1966)], и явное разнообразие основ исчисления предполагает, что мы еще не дошли до его фундамента.
