18.122. Конформные модели Бельтрами
Проективная модель гиперболической плоскости искажает углы, также как и длины. Это можно увидеть при помощи асимптотических геодезических на псевдосфере, которые, несомненно, стремятся к касательной в бесконечности, тем не менее отображаются на линии, пересекающиеся в ненулевом угле на границе единичного диска (рисунок 18.6). Бельтрами (1868b) нашел, что модели с истинными значениями углов, — так называемые конформные модели — можно получить, принеся в жертву прямоту «линий». Его базисная конформная модель является, фактически, не частью плоскости, а частью полусферы. Она построена над проективной моделью, и ее «линии» — вертикальные сечения полусферы (следовательно, полукруги) над «линиями» проективной модели (рисунок 18.8). «Расстояние» между точками на полусфере равно «расстоянию» между точками ниже их в проективной модели. Позже мы увидим, что «расстояние» на полусфере также имеет простое прямое определение.
Рисунок 18.8: Полусфера и проективная модель
Из модели полусферы получены две плоские конформные модели при помощи стереографической проекции, которая, как мы знаем из раздела 16.2, сохраняет углы и посылает круги в круги. Первая из них — диск (рисунок 18.9), который, изменяя масштаб, можно опять принять за единичный диск. Вторая (рисунок 18.10) — полуплоскость,
которая, мы полагаем, является верхней полуплоскостью, 
Поскольку «линии» в модели полусферы — круговые и ортогональны экватору, «линии» в плоских конформных моделях опять круговые, ортогональны границе диска и полуплоскости, соответственно, или в исключительных случаях прямым линиям. Во избежание постоянного упоминания этих исключительных случаев, а именно, отрезков линий, проходящих через центр диска, и линий 
в полуплоскости, мы считаем, что линии являются кругами бесконечного радиуса. Рисунок 18.9: Конформная модель диска Рисунок 18.10: Конформная модель полуплоскости Одна из прелестей конформных моделей заключается в том, что другие важные кривые — гиперболические «круги», орициклы и эквидистантные кривые — также являются действительными кругами. Всякая кривая, эквидистантная от заданной «линии» L, - это круг, проходящий через конечные точки 
на границе. Орициклы — это круги, касательные к границе, и, к тому же, в модели полуплоскости, линии 
Круг, который не пересекает границу, является гиперболическим «кругом», но его «центр», на равном «расстоянии» от всех его точек, находится не в евклидовом центре. На рисунке 18.11 показаны некоторые из этих кривых. Отметьте также, что асимптотические «линии» касательны в «бесконечности» (границе), и, что границей является их общий перпендикуляр, разрешая таким образом ситуацию, которую Саккери (раздел 18.1) считал противоречивой.
Рисунок 18.11: Некоторые кривые в модели полуплоскости
«линии»
«круг»
орициклы
эквидистантные кривые
«Расстояние» особенно легко выразить в модели полуплоскости. «Расстояние» 
между бесконечно мало близкими точками 
и 
следующее:
то есть, евклидово расстояние, деленное на у. Поэтому «расстояние» 
по мере того, как точка приближается к границе 
полуплоскости, как ожидалось. Сохраняя х постоянным, мы находим при помощи интегрирования, что «расстояние» вдоль вертикальной линии увеличивается экспоненциально относительно евклидова расстояния по мере
того, как у уменьшается. Например, «расстояния» между последовательными точками, в которых 
равны. Формула для 
впервые была получена Лиувиллем (1850) при помощи непосредственного отображения псевдосферы на полуплоскость, при этом он проводил упрощающие изменения переменной. Однако, Лиувилль не осознал, что полуплоскость с его формулой «расстояния» была моделью гиперболической геометрии. Формула «расстояния» для конформного диска также была получена до Бельтрами, Риманом (1854b), но он опять не заметил гиперболической геометрии.
Бельтрами (1868b) не только получил эти модели единым методом, но он также распространил идею на 
измерений. Например, он дал модель трехмерного пространства, которое Бойяи и Лобачевский считали верхней половиной, 
обыкновенного 
-пространства, с «расстоянием»
«Линии», в таком случае, являются полукругами, ортогональными 
а «плоскости» — полусферами, ортогональными 
Оказывается, что ограничение функции «расстояния» такой полусферой дает модель полусферы Бельтрами. Поэтому модель полусферы можно рассматривать как гиперболическую плоскость, лежащую в гиперболическом 
-мерном пространстве. Орисферы модели полупространства — это сферы, касательные к 
наряду с плоскостями 
Бельтрами (1868b) указал, что на 
мы имеем
то есть, «расстояние» пропорционально евклидову расстоянию. Таким образом, он имел непосредственное доказательство прекрасной теоремы Вахтера, что геометрия орисферы — евклидова.
Упражнения
(см. скан)
