19.129. Группы и геометрии
Как показывают правильные многогранники, геометрическая симметрия — фундаментально теоретико-групповое понятие. В более общем смысле, многие понятия «эквивалентности» в геометрии можно объяснить как свойства, которые сохраняются определенными группами преобразований. Однако, необходим был некоторый пересмотр классических понятий, прежде чем геометрия могла извлечь пользу из теоретико-групповых идей.
Старейшее понятие геометрической эквивалентности — это понятие конгруэнтности. Греки понимали, что фигуры 
конгруэнтны, если имелось движение твердого тела 
которое выносило его в 
Недостаток этой идеи заключался в том, что движение имело значение только для отдельной фигуры. «Произведение» движений различных фигур не имело значения, и, следовательно, групп движений не имелось.
Шаг, который проложил путь к введению теории групп в геометрию, заключался в распространении Мёбиусом (1827) идеи движения на всю плоскость; он придал смысл произведению движений. Фактически, Мёбиус рассмотрел все непрерывные преобразования плоскости, которые сохраняют прямоту линий и уделил отдельное внимание нескольким подклассам этих преобразований: тем, которые сохраняют длину (конгруэнтностям), виду (подобиям) и параллелизму (аф-финностям). Он показал, что самые общие непрерывные преобразования, которые сохраняют прямоту, — как раз проективные преобразования. Таким образом, одним ударом Мёбиус определил понятия конгруэнтности, подобия, аффинности и проективной эквивалентности как свойства, которые инвариантны под действием определенных классов преобразований плоскости. То, что рассматриваемыми классами были группы, стало очевидно, как только признали понятие группы. Именно признак медлительности, с которой было признано понятие группы, обусловило переформулировку идей Мёбиуса в понятиях групп только у Клейна (1872).
Формулировка Клейна получила известность как Эрлангенская программа, потому что он объявил о ней в Эрлангенском университете. Его идея заключалась в том, чтобы связать каждую геометрию с группой преобразований, которые сохраняют ее характеристические свойства. Например, евклидова геометрия плоскости ассоциируется с группой преобразований плоскости, которые сохраняют евклидово расстояние 
между точками 
Проективная геометрия плоскости ассоциируется с группой проективных преобразований. Гиперболическая геометрия плоскости, принимая во внимание проективную модель, может ассоциироваться с группой проективных преобразований, которые отображают единичный круг на себя. Важное влияние на Эрлангенскую программу, несомненно, оказали Кэли (1859), где эта группа была впервые показана для определения геометрии, и последующее осознание Клейном (1871), что элементы этой группы — движения твердого тела гиперболической геометрии.
Когда геометрия была заново сформулирована таким образом, определенные геометрические вопросы стали вопросами о группах. Правильная мозаика, например, соответствует подгруппе полной группы движений, состоящей из тех движений, которые отображают мозаику на себя. В случае гиперболической геометрии, где задача классификации мозаик представляет большую сложность, взаимосвязь между геометрией и теоретико-групповыми идеями оказалась очень плодотворной. В работе Пуанкаре (1882,1883) и Клейна (1882b) теория групп явилась катализатором нового синтеза геометрических, топологических и комбинаторных идей, которые описаны в разделах 19.6 и 22.7.
Упражнения
(см. скан)
