14.96. Основная теорема алгебры
Основная теорема алгебры — это утверждение, что каждое полиномиальное уравнение 
имеет решение в комплексных числах. Как заметил Декарт (раздел 6.7), решение 
означает, что 
имеет множитель 
а. Частное 
, в таком случае, — многочлен низкой степени; следовательно, если каждое полиномиальное уравнение имеет решение, мы можем также извлечь множитель из 
если 
имеет степень 
мы можем дальше разлагать 
на 
линейных множителей. Существование такой факторизации — конечно, еще один способ сформулировать основную теорему.
Первоначально, интерес ограничивался многочленами 
с действительными коэффициентами, и в этом случае Даламбер (1746) заметил, что, если 
решение 
то сопряженная величина 
тоже. Поэтому мнимые линейные множители действительного 
всегда можно объединить в пары, чтобы образовать действительные квадратичные множители:
Это дало еще один эквивалент основной теоремы: всякий (действительный) многочлен 
можно выразить как произведение действительных линейных и квадратичных множителей. В восемнадцатом веке теорему обычно формулировали таким образом, когда основная ее цель заключалась в том, чтобы сделать возможным интегрирование рациональных функций (см. раздел 14.5). Здесь также избегали упоминания 
Часто говорилось, что попытки доказать основную теорему начались с Даламбера (1746), и, что первое удовлетворительное доказательство было дано Гауссом (1799). Это мнение не следует признавать бесспорным, так как источник его сам Гаусс. Гаусс (1799) дал критику доказательств от Даламбера, показав, что все они имели серьезные недостатки, затем предложил свое доказательство. Он намеревался убедить читателей, что новое доказательство было первым верным, хотя в нем использовалось одно недоказанное предположение (которое обсуждается дальше в следующем разделе). Мнение о том, какое из двух неполных доказательств более убедительно, конечно, может измениться со временем, и я считаю, что о доказательстве Гаусса (1799) можно было бы судить сегодня иначе. Ныне мы можем заполнить пробелы у Даламбера (1746), обращаясь к стандартным методам и теоремам, тогда как легкого способа заполнить пробел у Гаусса (1799) по-прежнему нет.
Оба доказательства зависят от геометрических свойств комплексных чисел и понятия непрерывности для их завершения. Основное геометрическое понятие, что комплексное число 
можно идентифицировать точкой в плоскости, таинственно ускользало от всех математиков до конца восемнадцатого века. В этом заключалась одна из причин того, что доказательство Даламбера было неясным, и использование этого понятия Арганом (1806) было важным шагом в приведении в порядок доказательства Даламбера. Гаусс, видимо, пользовался тем же понятием, но скрыл его роль в своем доказательстве, возможно, считая, что его современники были не готовы рассматривать комплексные числа как плоскость.
Что касается понятия непрерывности, ни Гаусс, ни Даламбер не понимали его как подобает. Гаусс (1799) серьезно преуменьшал трудности, заключенные в недоказанном шаге, утверждая, что «никто, насколько мне известно, никогда не сомневался в нем. Но если кто-нибудь этого пожелает, тогда на другом основании я намереваюсь привести доказательство, которое не оставит сомнений» [перевод из Струйка (1969), с. 12]. Возможно, чтобы предвосхитить критику, он дал второе доказательство [Гаусс (1816)], в котором роль непрерывности минимизирована. Второе доказательство чисто алгебраическое, за исключением использования частного случая теоремы о промежуточном значении. Гаусс предположил, что полиномиальная функция 
действительной переменной х принимает все значения между 
по мере того, как х убегает от а к 6. Первый, кто оценил важность непрерывности для основной теоремы алгебры, был Больцано (1817), который доказал непрерывность полиномиальных функций и попытался доказать теорему о промежуточном значении. Последнее доказательство было неудовлетворительным, поскольку у Больцано не было ясного понимания действительного числа, на которое оно должно опираться, но оно указывало в правильном направлении. Когда в 1870-х гг. появилось определение действительных чисел (например, с сечениями Дедекинда; раздел 4.2), Вейерштрасс (1874) строго установил основные свойства непрерывных функций, такие как теорема о промежуточном значении и теорема об экстремальном значении. Это завершило не только второе доказательство Гаусса, но также доказате 
ьств о Даламбера, как мы увидим в следующем разделе.
