Глава 1. Теорема Пифагора

1.1. Арифметика и геометрия

Если имеется одна теорема, которая известна всем математически образованным людям, то это, несомненно, теорема Пифагора. Напомним ее как свойство прямоугольных треугольников: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон (рисунок 1.1). «Сумма» — это, конечно, сумма площадей, а площадь квадрата стороны I — это вот почему мы называем ее «I в квадрате». Тагам образом, теорема Пифагора также может быть выражена уравнением

где — длины, показанные на рисунке 1.1. Рисунок 1.1: Теорема Пифагора

Обратно, решение (1) положительными числами с может быть реализовано прямоугольным треугольником со сторонами и гипотенузой с. Ясно, что мы можем провести перпендикулярные стороны для любых заданных положительных чисел , и тогда гипотенуза с должна быть решением (1), чтобы удовлетворить теореме Пифагора. Это обратное представление теоремы Пифагора становится интересным, когда мы заметим, что (1) имеет несколько очень простых решений. Например,

Считается, что в античные времена такие решения могли использоваться для построения прямых углов. Например, растянув связанную веревку с 12 равноотстоящими узлами, можно получить -треуголь-ник с прямым углом между сторонами 3,4, как показано на рисунке 1.2. Рисунок 1.2: Прямой угол, полученный растягиванием веревки.

Является ли это практическим методом построения прямых углов или нет, само существование геометрической интерпретации чисто арифметического результата, подобного

весьма удивительно. На первый взгляд, арифметика и геометрия представляются совершенно несвязанными областями. Арифметика основывается на счете, краткой выжимке дискретного (или цифрового) процесса. Данные арифметики могут, несомненно, пониматься как результаты некоторых вычислительных процессов, и не предполагаешь, что они имеют какое-либо другое значение, кроме этого. Геометрия, с другой стороны, включает скорее непрерывные, чем дискретные объекты, например, линии, кривые и поверхности. Непрерывные объекты нельзя построить из простых элементов с помощью дискретных процессов, и предполагаешь скорее увидеть геометрические факты, чем прийти к ним с помощью вычислений.

Теорема Пифагора была первым намеком на скрытую, более глубокую взаимосвязь между арифметикой и геометрией, и она продолжала занимать ключевую позицию между этими двумя сферами на всем протяжении истории математики. Она иногда занимала позицию сотрудничества, а иногда — конфликта, которая последовала из открытия, что иррациональное число (см. раздел 1.5). Часто случается так, что из таких областей напряжения появляются новые идеи, разрешая конфликт и позволяя изначально противоречивым идеям продуктивно взаимодействовать. Напряжение между арифметикой и геометрией, без сомнения, глубочайшее в математике, и оно привело к глубочайшим теоремам. Поскольку теорема Пифагора первая из них, и самая влиятельная, она является подходящим предметом для нашей первой главы.